Для знакомства с аффинным пространством я рекомендую книгу Фоли (Foley) [Fol90], в которой основной акцент сделан на геометрических свойствах.
Упражнения Б.1. Докажите, что множество комплексных чисел образует скалярное поле. Какой вид в этом поле будут иметь универсальные тождественные элементы для операций сложения и умножения?
Б.2. Докажите, что множество рациональных функций образует скалярное поле.
Б.З. Докажите, что множество рациональных функций с действительными коэффициентами образует векторное пространство.
Б.4. Докажите, что количество элементов базиса определенного векторного пространства является фиксированным.
Б.5. Рассмотрите множество из « действительных функций {f,(x)}, /=1,«. Покажите, как сформировать векторное пространство с этими элементами. Дайте определение базису и размерности этого пространства.
Б.6. Покажите, что множество полиномов степени не выше п образует «-мерное векторное пространство.
Б.7. Дайте определение операциям сложения векторов и умножения вектора на скаляр в «-мерном евклидовом пространстве R". Что представляет собой операция скалярного произведения в R"?
Б.8. Предположим, что в евклидовом пространстве R3 заданы три вектора. Как проверить, образуют ли они базис этого пространства?
Б.9. В евклидовом пространстве R3 заданы три вектора: (1, 0, 0), (1, 1,0) и (1, 1, 1). Покажите, что эти векторы линейно-независимы. Постройте на этих векторах ортогональный базис, начав с (1, 0, 0).
Приложение Б. Абстрактные пространства в компьютерной графике ПРИЛОЖЕНИЕ
В
Матрицы
Основная роль матриц в математическом обеспечении систем компьютерной графики состоит в выполнении операций преобразования геометрических объектов при изменении систем координат или фреймов. Термин вектор в матричной алгебре имеет трактовку, несколько отличную от той, которая используется в векторном анализе и линейной алгебре. Чтобы не вносить излишней путаницы, при описании операций матричной алгебры мы будем пользоваться вместо общепринятого термина вектор терминами матрица-строка и матрица-столбец. Вектором же будем называть направленный отрезок прямой и иногда, как в приложении Б, абстрактный тип данных, представляющий элемент векторного пространства.