Б.2. Векторное пространство Векторное пространство помимо скаляров содержит и элементы другого типа - векторы. Над векторами определены две операции: сложение вектора с вектором и умножение вектора на скаляр. Пусть и, V, іг - векторы, определенные в векторном пространстве V. Операция сложения векторов определяется как замкнутая (и+г є V, \/и,г є V), коммутативная (м+г = у+м) и ассоциативная (м+(г+м') = (/<+у)+и*). В векторном пространстве существует специальный вектор - нуль-вектор, который обозначается 0, такой, что, если V;/ Є V, то м + 0 = и.
Каждый вектор и имеет соответствующий ему аддитивный инверсный вектор, который обозначается -и, такой, что и + (-и) = 0.
Операция умножения вектора на скаляр определена таким образом, что для любого скаляра а и любого вектора и произведение сш есть также вектор в пространстве V. Операция умножения вектора на скаляр подчиняется дистрибутивному закону, т.е.
ос(м + у) = ос// + осу, (ос + Р)м = осн+Рм.
'Иногда говорят, что эти операции подчиняются ассоциативному, коммутативному и дистрибутивному законам ачгебры. - Прим. ред.
Приложение Б. Абстрактные пространства в компьютерной графике Примерами векторных пространств являются пространство геометрических векторов (направленных отрезков прямой) и пространство алгебраических векторов - совокупностей п действительных чисел. Рассмотрим множество направленных отрезков, которые графически представлены на рис. Б.1. Если скаляры в векторном пространстве есть действительные числа, то операция умножения вектора на скаляр изменяет модуль (абсолютную величину или длину) вектора, но не меняет его ориентацию (рис. Б.2).
Сложение вектора с вектором определяется в векторном пространстве правилом сочленения начала с концом (head-to-tail rule), которое имеет довольно наглядное представление в пространстве направленных отрезков. Вектор суммы u+v образуется после сочленения начала вектора и с концом вектора v (рис. Б.З). Можете самостоятельно проверить, что все правила, определенные на пространстве векторов, удовлетворяются и для суммы векторов.