В математическом обеспечении компьютерной графики понятие вектор трактуется как направленный отрезок прямой, представленный совокупностью п чисел. В приложении В будут представлены основные сведения из матричной алгебры - базового математического инструмента, с помощью которого можно выполнять различные преобразования векторов. В данном приложении основное внимание будет сосредоточено на главных свойствах трех перечисленных типов пространств и имеющихся в них правилах манипулирования объектами. Вероятно, наиболее удобно считать эти объекты (скаляры, векторы и точки) абстрактными типами данных, а аксиомы, характеризующие свойства пространств, как множество операций, допустимых при работе с этими типами данных.
Б.1. Скаляры
Множество вещественных чисел и операций над ними представляет собой скалярное поле. Рассмотрим множество 5 скалярных элементов, которые обозначим строчными буквами греческого алфавита а, Р, … . Над скалярами определены две основные операции - сложение, которое обозначается знаком (+), и умножение, которое обозначается знаком ()'. СледоваИногда. если это не может быть истолковано неоднозначно, мы будем обозначать операцию умножения в виде сф вместо ос Д
тельно, если Va,3 є 5, то а+Р є 5, а (3 є 5. Эти операции обладают свойствами ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности2, т.е. если \/а,р\у є 5, то а + Р = Р + а.
а-Р = р-а.
а + (р + у) = (а + Р) + у. а(Ру) = (а-Р)у. а(Р + у) = (аР) + (а-у).
Существуют два специальных скаляра (универсальные тождественные элементы) - числа 0 и 1, таких, что прибавление первого и умножение на второе не меняют ни одного числа, т.е. для \/а є 5
а + 0 = 0 + а = а, а-1 = 1-а = а.
Каждый элемент а скалярного множества имеет соответствующие ему аддитивный инверсный элемент, который обозначается -а, и мультипликативный инверсный (обратный) элемент, который обозначается а"1, такие, что ос + (-ос) = 0\ ос-ос"' =1. -ос. ссч є 5.
Множество действительных чисел в совокупности с определенными выше операциями сложения и умножения образуют действительное скалярное поле. Скалярные поля других типов могут быть образованы множеством комплексных чисел в совокупности с операциями комплексного сложения и комплексного умножения и множеством рациональных функций (отношений двух полиномов).