Обозначим точку на комплексной плоскости как

z = x+iy,

где х- действительная часть, а у- мнимая часть комплексного числа z (рис. 11.28). Если z, = *|+іуі и z2 =х2+іу2 - Два комплексных числа, то операции их сложения и умножения определены следующим образом:

zi+z2 = x]+x]+i(y1+y2), z,z2 = дГ|Дг2-.)'ОЬ+і(дгоь+ДГг)'і).

Число і-мнимая единица- обладает свойством і2=-1. Комплексное число z имеет модуль (или абсолютную величину), которая определяется следующим образом:

\г\2 = х2+у2.

Функция w = F(z) отображает одну точку комплексной плоскости на другую. С помощью такой функции можно определить рекуррентную процедуру построения некоторой траектории на комплексной плоскости (годографа комплексного вектора): гж = F(zk), где Zo = с - заданная исходная точка траектории. Если нанести на комплексную плоскость точки Z/,, то, как видно на рис. 11.29, существует несколько вариантов "развития событий", в зависимости от вида функции F(zk) и начальных условий - положения точки с. В одном случае по мере возрастания к точки стремятся разойтись все дальше и дальше, в другом - картина периодически повторяется, а в третьем - точки стремятся к некоторой фиксированной точке сходимости.

Процедурные методы

Рассмотрим, например, функцию

где Zo = с. Если с лежит вне окружности единичного радиуса, то последовательность {z*} расходится; если с лежит внутри окружности единичного радиуса, то последовательность {z*} сходится к началу координат комплексной плоскости; если же Ici = 1, то каждое последующее значение гк лежит на окружности единичного радиуса. Более интересный результат дает функция

= z/+c

при начальных условиях Zo = О+iO. Точка с принадлежит множеству Мандельброта (Mandelbrot set) тогда и только тогда, когда все точки порождаемой ею рекуррентной последовательности являются конечными. Следовательно, комплексную плоскость можно разделить на две зоны, одна из которых представляет собой совокупность точек, принадлежащих множеству Мандельброта. Выделив на комплексной плоскости некоторый прямоугольник, можно графически выделить определенным цветом (например, черным) точки, принадлежащие множеству Мандельброта, а белым - остальные (рис. 11.30, а). Но на границе раздела двух областей картина оказывается довольно сложной, поэтому приходится увеличивать коэффициент масштабирования, чтобы рассмотреть подробности.

⇐ Предыдущая| |Следующая ⇒