11.7.1. Масштаб и длина Стройное здание геометрии фракталов зиждется на двух устоях:
зависимость между геометрией формы и масштабом;
внутренняя симметрия (самосимметрия).
Чтобы понять смысл этих формулировок, попытаемся ответить на вопрос, который, собственно, и породил это направление: "Что такое длина береговой линии?" Будем считать, что перед нами на столе разложена географическая карта. Поскольку береговая линия извилиста и крайне нерегулярна, нам придется взять сантиметровую ленту (например, такую, которой в докомпьютерные времена пользовались портные), выложить ее вдоль изображения береговой линии на карте и затем, используя масштаб, обозначенный на карте, пересчитать измеренную длину3. Однако, если вы потом найдете другую карту того же побережья, более крупномасштабную, и повторите эксперимент, то скорее всего и результат получите другой - больший. Дело в том, что на крупномасштабной карте форма береговой линии станет более изрезанной - появятся мелкие бухты и мысы, которые на мелкомасштабной карте просто не отражены. Еще более под3Для подобных измерений чаще всего используется специальный механический прибор - курвиметр. - Прим. ред.
11.7. Рекурсивные методы и фракталы 483
робно будет воспроизведена форма береговой линии на топографической карте. В принципе, этот процесс можно продолжать до бесконечности, например перейти на молекулярный уровень, и каждый раз мы будем видеть все новые и новые детали общей картины.
Если мы все-таки хотим получить полезную информацию из проведенных измерений, то сначала нужно согласовать приемлемый масштаб карты или приемлемую единицу разрешения при измерении. Аналогичная проблема существует и в компьютерной графике при работе с перспективными видами, поскольку степень детализации отдельных объектов зависит от того, на каком расстоянии мы их видим.
Понять математическую суть проблемы можно, воспользовавшись рекурсивным применением кривой Коха, описанной в предыдущем разделе. В этой кривой каждый линейный сегмент длиной в 1 единицу заменяется на очередном цикле четырьмя сегментами, каждый из которых имеет длину 1/3 единицы (рис. 11.18). Следовательно, на каждом цикле длина траектории вдоль кривой между одними и теми же точками увеличивается с коэффициентом 4/3. Анализ предела, к которому стремится длина кривой при бесконечном количестве "граций, обязательно подведет нас к вопросу о размерности. Кривую нельзя считать обычной одномерной линией, так как в пределе она имеет бесконечную длину и бесконечное количество разрывов первой производной. Но она и не является двухмерным объектом, поскольку не заполняет собой некоторую область на плоскости. Эту проблему можно разрешить, введя понятие Annftunii ппчирпнпгпш (fmrtinnnl Hime>n<:inn\