ХН у2+ г2- г= 0.

Описать линию в трехмерном пространстве не так просто. Она может быть представлена только системой уравнений, описывающих поверхности, пересечение которых и образует эту линию, если таковые существуют:

.ЛХ = о,

&х,у,=) = 0.

Следовательно, задавшись точкой с координатами (х,у,г), нужно проверить, лежит ли она на обеих поверхностях, и, если лежит, считать ее точкой, принадлежащей формируемой линии.

Алгебраической считается поверхность, для которой функция Ах,у, г) есть сумма полиномов трех переменных. Частный случай алгебраической поверхности - квадратичные поверхности, в функции / представления которых отсутствуют степени переменных1 выше 2. Квадратичные поверхности представляют для нас особый интерес не только потому, что к ним относятся такие распространенные поверхности, как сфера, цилиндр и конус, но и потому, что такая поверхность пересекается прямой не более чем в двух точках. Это свойство квадратичных поверхностей будет использовано при разработке методов их тонирования в разделе 10.9.

Степень полинома определяется как максимальная сумма степеней переменных в отдельном члене. Так, в полиноме второй степени могут присутствовать члены ху ичи г2, а член ху2 не может.

10.1. Представление кривых линий и поверхностей

10.1.3. Параметрическая форма представления В параметрической форме значение каждой координаты точки, принадлежащей кривой, представляется функцией независимой переменной м, которая называется параметром этой кривой. В трехмерном пространстве кривая описывается системой из трех параметрических уравнений: х = х(и), У=Л«)*

Г = 2(11).

Одно из главных достоинств параметрической формы представления - ее единообразие в двух- и трехмерном пространствах. В первом случае нужно просто отбросить третье уравнение для координаты г. Параметрическую форму представления можно интерпретировать как способ представления на экране образа кривой р(и)=[л(г/) у(и) :{и)]Т, изменяя значения параметра и, как показано на рис. 10.1. Производную от параметрически заданной векторной функции


⇐ Предыдущая| |Следующая ⇒