у = у]г2-х2 , а вторую половину, находящуюся в нижней полуплоскости, другим: у = -\1г2 -х2 .
В трехмерном пространстве линия описывается системой из двух уравнений в явной форме. Если, например, переменная х снова выбрана в качестве независимой, то имеем два уравнения для зависимых переменных: У
Для описания поверхности потребуется использовать две независимые переменные, и уравнение поверхности в явном виде будет выглядеть так:
= -Ах,у).
Как и в двухмерном пространстве, в трехмерном пространстве также не все кривые и поверхности могут быть описаны уравнениями в явной форме. Например, система уравнений у = ах + Ь, 2 = сх + а"
Кривые и криволинейные поверхности
описывает прямую в трехмерном пространстве, но таким способом нельзя описать прямую, лежащую в вертикальной плоскости л=соп$1. Точно так же сферу нельзя представить уравнением вида г-Ддг, у), поскольку заданным значениям х и у соответствуют две точки на сфере.
10.1.2. Неявная форма представления Большинство кривых и поверхностей, с которыми приходится работать на практике, можно описать с помощью уравнений в неявной форме. В двухмерном пространстве неявная форма уравнения линии имеет вид Прямая и окружность с центром в начале координат описываются соответственно уравнениями ах + Ьу + с = О,
2,22 Л
х + у - г = 0.
Функция /, по сути, выделяет из всех точек пространства те, которые принадлежат описываемой линии. Значение этой функции позволяет проверить для каждой пары значений координат х, у, лежит ли описываемая ими точка на данной линии. В общем случае, однако, неявная функция не позволяет определить значение координаты у точки на кривой для заданного значения х, или наоборот. Неявная форма представления является менее зависимой от системы координат, поскольку позволяет представлять прямые или окружности во всех вариантах. В трехмерном пространстве уравнение в неявной форме вида Ах,у,=)=о.
описывает поверхность. Например, плоскость описывается уравнением ах + Ьу ~ с: + а" = 0, где а, Ь, с и в. - константы. Сфера радиуса г с центром в начале координат описывается уравнением