Из этой теоремы следует, что если перед нами стоит задача не потерять информацию об изображении в процессе его дискретизации, то это можно осуществить только в том случае, если в частотной области все компоненты исходного изображения, выходящие за пределы интервала шириной в частоту квантования по обе стороны от начала координат, имеют нулевую интенсивность. Наивысшая частота в спектре исходной функции, не превышающая половину частоты квантования, называется частотой Найквиста (Nyquist frequency). Функции, спектр которых не выходит за определенный интервал, называются функциями с ограниченным спектром. При работе с функциями двух переменных, подобных функциям интенсивности изображения, пространственные частоты квантования по каждой переменной на двухмерной сетке с осями х и у равны соответственно \/Их и \1ИУ. В формулировке теоремы предполагается ансамбль идеальных выборок бесконечной длины, причем каждая выборка соответствует значению исходной функции в бесконечно малой окрестности узла сетки. На практике этот идеал недостижим, поскольку количество выборок ограничено размером буфера, имеющегося в графической системе. Следовательно, мы не сможем точно воспроизвести идеальную функцию с ограниченным спектром.
Результатом нарушения сформулированного Найквистом критерия является лестничный эффект (aliasing) - проявление погрешности квантования в сформированном изображении. И исходная непрерывная функция, и последовательность выборок - решетчатая функция, полученная в результате квантования по независимой переменной, - могут быть представлены в частотной области. Спектр решетчатой функции - ее фурье-образ - имеет периодический характер и представляет собой сумму фурье-образов исходной непрерывной функции, смещенных по оси частот на величину, кратную частоте квантования. На рис. 9.40,а показаны
6Не вступая в спор о научном приоритете, отметим, что в отечественной литературе эта теорема связывается с именем В. А. Котельникова, который опубликовал свое исследование в 1933 году (см. Котельников В. А. О пропускной способности "эфира " и проволоки в электросвязи// Материалы к 1-му Всесоюзному съезду реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности. - Изд-во ред. упр. связи РККА, 1933.). - Прим. ред.