R;=R;(6) =
RA=R,(6) =
R =Rv(0) =Объекты и геометрические преобразования
R '(9) = R(-8).Обратите внимание и на то, что элементы, содержащие cos, всегда размещаются на главной диагонали матрицы, а пара элементов, содержащих sin, - по разные стороны от главной диагонали.
Воспользовавшись тригонометрическими тождествами cos(-9) = cos9 и sin(-G) = -sinG, получим, что
R '(9) = R7(9).В разделе 4.8 будет показано, как сформировать матрицу поворота вокруг произвольной оси с фиксированной точкой в начале координат, используя перемножение матриц поворота вокруг отдельных осей системы координат:
R = R,R, R..Учитывая, что преобразование произведения есть произведение преобразований в обратном порядке, можно показать, что для любой матрицы поворота выполняется соотношение
R 1 = Rr.Матрицы, для которых операция транспонирования дает тот же результат, что и обращение, называются ортогональными (orthogonal matrix); любая ортогональная матрица описывает некоторое преобразование поворота с фиксированной точкой в начале координат.
4.7.4. Скос
Хотя любое аффинное преобразование можно свести к последовательности поворотов, сдвигов и изменений масштаба, существует один вид преобразования, который настолько важен в компьютерной графике, что мы будем рассматривать его также как базовый тип. Это преобразование скоса (shear). Рассмотрим куб, центр которого находится в начале системы координат, а ребра параллельны осям координат (рис. 4.37). Если сместить верхнюю грань куба вправо, а нижнюю - влево, объект будет скошен в направлении оси х. Учтите, что при этом компоненты у и z всех точек на объекте остаются неизменными. Мы будем называть показанное на рисунке преобразование х-скосом, чтобы отличать его от скоса в другом направлении. Воспользовавшись простыми тригонометрическими соотношениями, которые поясняются на рис. 4.38, можно охарактеризовать преобразование такого типа единственным параметром - углом скоса 0. Уравнения преобразования имеют вид х' = х + yctgQ, У' = У, откуда следует вид матрицы скоса: