J_
_1_4.7. Преобразования в однородных координатах
4.7.3. Поворот
Сначала рассмотрим поворот вокруг начала координат, т.е. будем считать, что фиксированная точка преобразования поворота находится в начале координат. Поскольку поворот можно выполнять независимо вокруг каждой из осей координат, это преобразование имеет три степени свободы. Но нужно учитывать, что перемножение матриц не является коммутативной операцией (см. приложение В). Если за поворотом вокруг оси х на угол 8 следует поворот вокруг оси у на угол ф, то результат будет отличаться от полученного при выполнении этих же преобразований в другой последовательности.
Чтобы найти матрицу поворота вокруг отдельной оси системы координат, можно использовать результат, полученный при анализе поворота в двухмерной системе (см. раздел 4.6). Мы уже видели, что поворот в двухмерной системе фактически является поворотом вокруг оси z трехмерной системы координат и что после выполнения такого преобразования точки остаются на той же плоскости, т.е. компонент z точки не изменяется. Следовательно, уравнения поворота вокруг оси г на угол 8 в трехмерном пространстве можно записать следующим образом:
;c' = ;ccos6-j;sin6, >-' = ^sin8 +j^cos8,или в матричном виде: p'=RzP, где
cos Є -sin8 О О" sinG cos0 О О О 0 10" О 0 0 1
Рассуждая аналогично, можно сформировать и матрицы поворота вокруг осей х и у. При повороте вокруг оси х значения компонентов х точек остаются неизменными, и получаем двухмерный поворот в плоскости х = const. При повороте вокруг оси у сохраняются значения компоненту точек. Матрицы этих поворотов имеют вид
1 0 0 0"
0 cos0 -sine 0
0 sine cosO 0 '
0 0 0 1"cosO 0 sine О" 0 10 0 -sinO 0 cosO О О 0 0 1
Знак элементов матриц, содержащих sin, соответствует принятому определению положительного направления поворота в правосторонней системе координат.
Обозначим через R любую из трех приведенных выше матриц поворотов вокруг осей системы координат. После поворота на угол Є преобразованные точки всегда можно вернуть в исходное состояние, выполнив поворот вокруг той же оси на угол -8. Следовательно,