М =

У.2

Ї22 Ї32 Ї42

У,3

Ї23

Узз

Ї43

Матрица М называется матрицей представления изменения фреймов.

Матрицу М можно использовать и для непосредственного вычисления изменения представления. Пусть а и Ь - представления в однородных координатах двух точек (или двух векторов) в разных фреймах. Тогда Следовательно, а = М7Ь.

Использование аппарата однородных координат имеет и множество других достоинств, которые мы будем повсеместно использовать по ходу изложения всего материала этой книги. Возможно, наиболее важным из них является то, что все аффинные преобразования (т.е. сохраняющие линейные свойства геометрических объектов) при использовании представления в однородных координатах выполняются единообразно - с помощью перемножения матриц. Хотя для решения задач трехмерного пространства при этом используется четыре измерения, количество арифметических операций в результате даже снижается. Единообразное представление всех аффинных преобразований позволяет, во-первых, довольно просто организовать последовательное выполнение сложных преобразований (конкатенацию преобразований), а во-вторых, реализовать большинство этих операций аппаратно, что значительно повышает скорость обработки.

4.3.4. Пример перехода из одного фрейма в другой Вернемся к примеру из раздела 4.3.2. Опять начинаем с базиса {v,, у2, у3} и преобразуем его в базис {и\, и2, щ), три уравнения для векторов которого имеют вид Щ = v,, и2 - vi + х2, Щ = v, + х2 + у3.

Точка отсчета фрейма не меняет своего положения, а потому к этим трем уравнениям добавим четвертое:

2о = Л>.

Объекты и геометрические преобразования

Нас интересуют матрица преобразования М, обратная ей матрица М 1 и транспонированная матрица Мг. Матрица М имеет вид М

0 о

1 о 1 1 о о Предположим, что, помимо изменения базиса, требуется изменить и точку отсчета в новом фрейме. Ее положение в прежнем фрейме имеет представление (1, 2, 3, 1). Вектор смещения у=у1+2у2+Зу3 сместит Р0 в £?0- Ненулевой четвертый компонент означает, что объект является точкой. Таким образом, к трем уравнениям предыдущего примера добавляется четвертое:

⇐ Предыдущая| |Следующая ⇒