4.3.1. Замена систем координат

Очень часто требуется выяснить, как изменится представление вектора при изменении базиса. Предположим, что {v,, v2, v3} и {ии и2, м3} - два базиса. Каждый вектор второго базиса можно представить в первом базисе (и наоборот). Следовательно, существует девять скалярных компонентов {уц}, таких, что

«i = Y11v1+y12v2+y13v3i

М2 = Y21v, + Y22V2 +Y23v3.

"з = Y31v, +Y32V2 + Y33v3. Эти скаляры можно "уложить" в матрицу 3x3:

Yh Y12 Yn М= Y2. Y22 Y23 _Y31 Y32 Y33.

а соотношение между компонентами представить в матричной форме:

Матрица М содержит информацию, необходимую для преобразования представления вектора в одном базисе в представление в другом. Обращение матрицы М дает матрицу, которая позволяет преобразовать представление в базисе {иь и2, м3} в представление в базисе {г,, у2, г3}. Пусть вектор и» имеет в базисе {уь \*2, у3} представление {ссь а2, а3}, т.е.

w = otiVi + a2v2 + a3v3.

4.3. Системы координат и фреймы

Это же соотношение можно записать и в матричной форме: и' = а где

а =

Предположим, что Ь является представлением м> в базисе {иь и2, м3}: и> = 3,м, + (3,и2 + 33м3

или м> = Ьг где

Ь =

Таким образом, используя представление во втором базисе в терминах первого, получим:

Следовательно, а = МГЬ.

Матрица (М7) 1 позволяет перейти от а к Ь: Ь = Аа = (Мг)"'а.

Важность этого результата заключается в том, что он позволяет перейти от рассмотрения абстрактных векторов к операциям с представлениями векторов - матрицами-столбцами, состоящими из скаляров. Но при работе с такими матрицами всегда нужно помнить о том, что за ними "скрывается" определенный базис, иначе мы рискуем оказаться совсем в другой системе координат.

Изменение базиса не затрагивает положение точки начала координат. Такое изменение можно использовать для представления поворота или масштаба набора векторов базиса (рис. 4.19). Однако плоскопараллельное смещение фрейма или перенос начала координат (рис. 4.20) таким способом представить нельзя. После того как мы рассмотрим простой пример, будет введено понятие однородных координат, пользуясь которыми можно с помощью операций над матрицами выполнять комплексное преобразование фреймов.

⇐ Предыдущая| |Следующая ⇒