9. В-сплайн кривые уменьшают колебание: В-сплайн кривая не пересекает никакую линию чаще, чем это делает ее контрольный полигон [Farin, 60].
11.8.1. Использование кратных контрольных точек Дизайнер с успехом может изменять форму В-сплайн кривой, задавая в одной и той же точке несколько контрольных точек и создавая тем самым кратную контрольную точку (multiple control point), которая сильнее притягивает к себе кривую.
На рис. 11.36 приведен пример, в котором используются кубические В-сплайн кривые. Кривая на базе контрольных точек А, В, С, D, Е, F, G демонстрирует типичное для кубических сплайнов поведение. При задании в точке D точки двойной кратности (в этом случае контрольный полигон имеет вид А, В, с, d, d, Е, f, G) кривая сильнее притягивается к точке D. Если же в точке D помещена точка тройной кратности, что придает контрольному полигону вид А, В, С, D, D, D, Е, f, G, то кривая фактически интерполирует эту точку!
Рис. 11.36. Манипулирование кривой при помощи кратных контрольных точек Эффект интерполяции легко объясняется с помощью рис. 11.33, а. Отметим, что при таких значениях г, как г5 и г6, ровно три В-сплайн функции отличны от нуля и в сумме составляют единицу. Если их вес определяется одной и той же контрольной точкой, то взвешенная сумма будет равняться самой контрольной точке. Обобщая, напомним, что кубический В-сплайн всегда находится внутри некоторой выпуклой оболочки четырех последовательных контрольных точек. При использовании в точке И точки тройной кратности выпуклые оболочки, окружающие Д состоят из ребер контрольного полигона, поэтому кривая «захватывается» этим ребром на протяжении одного диапазона полиномов.
Отметим, что применение кратных контрольных точек - не то же самое, что использование краху,, ных узлов, хотя эффекты от этих действий аналогичны. Дизайнеру обычно проще увеличить кратность контрольной точки, чем узла, поскольку контрольные точки явственно видны и на них можно указывать. (Для задания кратности контрольной точки дизайнеру достаточно отметить ее мышью нужное число раз.)