Функции должны быть простыми в вычислении и численно устойчивыми Для быстрого генерирования кривой мы хотим, чтобы стыковочные функции вычислялись просто. Кроме того, желательна также минимальная чувствительность к численным ошибкам округления. Эти рассуждения приводят нас к выбору в качестве стыковочных функций полиномов, причем степень этих полиномов должна быть достаточно малой. Другие типы функций, такие как синусы и косинусы, использовать было бы слишком накладно.
Функции должны составлять в сумме единицу для любого значения t из [а, Ь]
При каждом значении t кривая У(г), согласно равенству (11.46), является взвешенной суммой точек, а это имеет смысл, только если V(t) является аффинной суммой точек для любого t из промежутка [а, Ь]. Поэтому мы требуем, чтобы
Из рис. 11.20 можно видеть, что функции-кандидаты уже обладают этим свойством.
Функции должны иметь поддержку лишь на небольшом участке промежутка [а, Ь]
Для обеспечения локального контроля мы хотим, чтобы поддержка каждой стыковочной функции была сконцентрирована на небольшом участке интервала [а, Ь].
Функции должны интерполировать определенные контрольные точки Дизайнер может пожелать, чтобы кривая V(t) проходила через некоторые из контрольных точек, в то время как к остальным она должна только приближаться (притягиваться). Для форм на рис. 11.20 интерполируются первая и последняя контрольные точки. Позднее мы вкратце рассмотрим механизм изменения стыковочных функций с целью обеспечения интерполяции определенных точек.
Функции должны иметь достаточную гладкость
Обычно дизайнеру нужно, чтобы кривая У(г) при любом наборе контрольных точек была гладкой. Для создания кривых желаемой формы V(t) должна обладать по крайней мере 1-гладкостью, а может быть, даже 2-гладкостью. Гладкость V(t) зависит от гладкости стыковочных функций; в частности, если каждая стыковочная функция является 1-гладкой на [а, Ь], то кривая V(t) также будет 1-гладкой на [а, Ь].
Заметим, что стыковочные функции на рис. 11.20 внешне выглядят гладкими в своих внутренних частях. Важно также, чтобы они плавно «начинались» и «заканчивались». На рис. 11.21 изображена стыковочная функция вместе со своей первой производной. Производная этой функции непрерывно изменяется от нуля в точке t = с, в которой функция начинается. Однако там, где функция заканчивается