Рассмотрим для начала несколько технологий аппроксимации кривых (в которых кривая P(t) не обязательно интерполирует контрольные точки) и сосредоточим свое внимание на кривых Безье и В-сплайнах. Может показаться, что у дизайнера всегда должно возникать желание интерполировать свои контрольные точки, однако мы увидим, что и у аппроксимирующего подхода имеются свои преимущества. Затем мы посмотрим, как приспособить зти алгоритмы, чтобы они обеспечивали интерполяцию контрольных точек.
11.4. Применение кривых Безье для построения кривых
Начнем с простого и элегантного алгоритма де Кастельо, с помощью которого создаются кривые Безье, ставшие фундаментальными в CAGD. Кривые Безье были разработаны Полем де Кастельо (Paul de Casteljau) и независимо от него Пьером Безье (Pierre Bezier) примерно в 1962 году. Эти кривые были включены в качестве составных частей в системы CAGD двух автомобильных компаний: «Ситроен» и «Рено» - для совершенствования дизайна автомобильных кузовов.
11.4.1. Алгоритм де Кастельо В алгоритме де Кастельо для вычисления вполне определенного значения точки P(t) для каждого значения с от 0 до 1 используется последовательность точек Р0, Pv Р2,.... Таким образом, это дает возможность сгенерировать кривую по совокупности точек. Изменение этих точек влечет за собой и изменение кривой. Такое конструирование основывается на хорошо знакомых нам шагах «твининга» (вспомните главу 4), реализация которых достаточно проста. Поскольку твининг является столь удобной процедурой, представляется возможным вывести множество полезных свойств кривых, которые генерируются с его помощью.
Твининг трех точек для создания параболы
Начнем с трех точек: Р0, Pv Рг, как показано на рис. 11.12, а. Выберем некоторое значение параметра!в интервале от 0 до 1, например t = 0,3, после чего определим местонахождение точки А, находящейся на f-й части пути вдоль прямой, соединяющей точки Р0 и Pv Подобным же образом определим точку В
11.4, Применение кривых Безье для построения кривых