9 круги выше и ниже кардиоиды имеют радиус 0,0954 и центры в точке с = -0,1226 ± 0,7449/. Орбиты внутри этих кругов являются периодическими с периодом 3.
3. Граница множества Мандельброта - это наиболее интересный предмет для изучения; фактически ома является фрактальной кривой. При сколь угодно большом увеличении какого-либо се участка - путем использования все меньших и меньших окон, - постоянно проявляются все новые подробности. При каждом увеличении становится видимым новый мир подробностей. Например, то, что было одиночной черной точкой при одном увеличении, становится целой «бородавкой» («wart») при следующем увеличении («А этих блохи меньшие грызут // II нескончаем вечный этот зуд»). Оказывается, что никакие две из этих миниатюрных бородавок в точности не совпадают. Другой поразительный факт, доказанный Джоном X. Хаббардом (John Н. Hubbard) из Корнельского университета, заключается в том, что множество Мандельброта является связным (connected) [Dewdney, 58]: хотя самые мелкие бородавки кажутся свободно «плавающими» на плоскости, всегда существует тончайший усик из точек, принадлежащих множеству Мандельброта, который соединяет эти бородавки с родительским множеством.
9.7. Множества Жюлиа Подобно множеству Мандельброта, множества Жюлиа являются чрезвычайно сложными множествами точек на комплексной плоскости. Для каждого значения параметра с существует свое множество Жюлиа, обозначаемоеJc. Тесно связанной с ним вариацией является плотное множество Жюлиа (filled-in Julia set); обозначаемое К. Это множество определяется проще, поэтому с него и начнем.
Приближение к бесконечности
9.7.1. Плотное множество Жюлиа Кс
Рассмотрим снова систему итерационных функций (IFS), показанную на рис. 9.39, однако теперь придадим константе с некоторое фиксированное значение и посмотрим, что произойдет для различных стартовых точек s. Как и прежде, мы интересуемся поведением орбиты для стартовой точки s. Орбита эта или взрывается, или нет. Если данная орбита конечна, то говорят, что точка с лежит внутри множества Кс, а в противном случае - вне его. Тогда имеет место следующее определение.