р..р- (9.15)
(Отметим, что, поскольку мы работаем с комплексными числами, извлечение квадратного корня из числа ((1 /4) - с) не будет проблемой, даже если оно отрицательное или комплексное. В приложении Б показано, как вычислять такие квадратные корни в программе.) В предыдущем примере мы получили неподвижную точку р_ = -0,249227 + 0,333677г. Вторая неподвижная точка равнар+ = 1,249323 - 0,333677г. Если орбита когда-либо попадет в неподвижную точку, то она останется там навсегда. Две эти неподвижные точки расположены симметрично на одинаковом расстоянии (на каком?) от точки 1/2 + 0г.
1 Те читатели, которые незнакомы с комплексной арифметикой, могут тем не менее создавать изображения множества Мандельброта с помощью компьютерной графики. Прочтите приведенный ниже материал, не особенно углубляясь в него, и перейдите к рассмотрению таких алгоритмов, которые работают исключительно с точками (х, у), имеющими вещественные координаты.
2 Одним из таких инструментов является программа Mathematica. На языке Mathematica выражение f[x_] := N[x*x + с] определяет итерационную функцию, с задается формулой с - -.2 + .5/, а при вызове программы NextList[f, 0,80] на экран выводится список первых 80 значений орбиты. А фактически все это может быть помещено в единственную компактную команду: NextList[N[U Л2 -.2 + .5I&], 0,80].
Приближение к бесконечности
Мы лучше поймем суть неподвижной точки, если охарактеризуем ее как точку притяжения (attrac i: ng) или отталкивания (repelling). Грубо говоря, если орбита «пролегает» вблизи от неподвижной точки р, то следующая точка вдоль этой орбиты буцет вынуждена находиться О ближе к точкер, если р является неподвижной точкой притяжения; О дальше от точки р, если р является неподвижной точкой отталкивания.
Если орбита приблизится на достаточно малое расстояние к неподвижной точке притяжения, то она будет «всасываться» в эту точку. Напротив, неподвижная точка отталкивания «отдаляет» орбиту от себя. Нетрудно показать (см. следующее упражнение), что неподвижная точка притягивает только тогда, когда она отстоит от начала координат на расстояние, меньшее 1/2, - то есть Енутри круга радиуса 1/2 с центром в начале координат.