Практическое упражнение
9.6.3. Неподвижные точки притяжения Пусть, как и в случае «ручного» вычисления, точка р является неподвижной точкой функции /( ), и выберем вблизи отр точку z: z = р + е, где е - малое комплексное число. Посмотрим, насколько далеко отстоит отр функция/( ) - то есть чему равно выражение \f(p + е) - р\. Разложим функцию f(p + е) в ряд Тэйлора: f(p + е) = /(р) + f'(p)s + [члены более высоких порядков], тогда для малых значений е имеем: \f(p + s) - р\ = |/'(.p)||s|- Но |е| - \z-р\, \f(z) - р\ приблизительно равно |/'(^i)J|z-p|. Следовательно, р является точкой притяжения (то есть |/(2) - р\ меньше, чем \z - р\), если |/'(^)| < 1 ' и точкой отталкивания, если > 1 Для нашей функции f'(z) = 2z, поэтому р является точкой при тяжения при \2р\ < 1. Если же = 1, то неподвижная точка не является ни точкой притяжения, ни точкой отталкивания и носит название «индифферентной». Орбиты вблизи индифферентных точек также могут быть весьма сложными [Peitgen, 157].
9.6.2. Определение множества Мандельброта Множество Мандельброта может использовать различные значения константы с, но стартовая точка s всегда равна 0. Для каждого значения константы с это множество дает информацию о природе нулевой орбиты, первые несколько значений которой имеют вид: нулевая орбита 0, с, с2 + с, (с2 + с)2 + с, ((с2 + с)2 + с)2 + с,… (9.16)
Для каждого комплексного числа с его орбита либо конечная, то есть вне зависимости от удаления орбиты ее значения остаются конечными; либо взрывная, когда ее значения становятся бесконечно большими. Множество Мандельброта, обозначаемое буквой М, содержит только такие значения константы с, которым соответствуют конечные орбиты.
О Точка с принадлежит множеству М, если нулевая орбита конечна.
О Точка с не принадлежит множеству М, если нулевая орбита взрывается.
Определение. Множество Мандельброта М- это множество всех комплексных чисел с, которым соответствуют конечные нулевые орбиты.
(Отметим, что для данного значения с нулевая орбита становится орбитой с после одной итерации, поэтому поведение орбит одинаково, если начинать с 0 или с с.)