9.6. Множество Мандельброта
«живут» («live») на комплексной плоскости - плоскости комплексных чисел. Напомним, что графически комплексные числа отображаются с помощью схемы, в которой каждое комплексное число 2 = х + уг изображается как точка с координатами (х, у)х.
Система, схема которой приведена на рис. 9.39, отлично работает как с комплексными, так и с вещественными числами. Пусть с и s - комплексные числа, при каждой итерации мы возводим в квадрат предыдущее число и прибавляем с. Напомним (см. приложение Б), что при возведении в квадрат комплексного числа 2 = х + yi получается новое комплексное число:
(х + yif = (х2 - у2) + (2xy)i, (9.14)
вещественная часть которого равна х2 - у2, а мнимая - 2ху. Снова зададимся вопросом о «конечности» орбиты для s: станет ли «размер» орбиты при последовательных итерациях сколь угодно велик? Под «размером» мы подразумеваем обыкновенный модуль: \x+yi\ = ^х2 +у2.
Пример 9.6.3. Чему равна нулевая орбита для с = -0,2 + 0,5i?
Рассмотрим нулевую орбиту для с = -0,2 + 0,5г. Для вычисления итераций достаточно ручного калькулятора, однако различные инструменты, имеющиеся на многих компьютерах, значительно упрощают зти расчеты2. Получаем следующую орбиту:
dx = -0,2 + 0,5г, rf2 -0,41 + 0,3г, d3~ -0,1219 + 0,254г, dk - -0,2497 + 0,438i, После приблизительно 80 итераций значения dk стремятся к следующему пределу: dk = -0,249227 + + 0,333677г. Это называется неподвижной точкой (fixed point) данной функции, поскольку возведение ее в квадрат и прибавление с дает в точности такое же значение. (Проверьте это!) Разумеется, любая орбита, сходящаяся к неподвижной точке, остается конечной. Таким образом, остается конечной и орбита -0,2+0,5г.
Некоторые замечания относительно неподвижных точек системы
При исследовании множеств Мандельброта и Жюлиа полезно рассмотреть неподвижные точки системы: /(.) » (.)2 + с. Поведение орбит сильно зависит от этих неподвижных точек - то есть от таких комплексных чисел z, которые отображаются сами в себя: z2 + с = z. Это приводит к квадратному уравнению 22-2 + с = 0,и неподвижными точками этой системы будут два решения этого уравнения, то есть