5.3. Трехмерные аффинные преобразования Повороты
Повороты в трех измерениях являются обычным делом в графике, поскольку нам часто требуется повернуть объект или камеру с целью получения различных видов. Разнообразие поворотов в трех измерениях значительно больше, чем в двух, поскольку в ЗЭ мы должны задавать ось, вокруг которой осуществляется вращение, а не только одну точку. Одним из плодотворных подходов является разложение поворота на последовательность более простых поворотов.
Элементарные повороты относительно оси координат. Простейшим поворотом является поворот относительно одной из координатных осей. Назовем поворот вокруг оси х - «х-вращением», поворот вокруг оси у - «г/-вращением», а поворот вокруг оси г - «г-вращением». Представим по отдельности матрицы, осуществляющие х-вращение, г/-вращение и г-вращение. В каждом случае поворот осуществляется на угол 3 относительно заданной оси. Положительные углы определяются с помощью правила, называемого «взгляд вовнутрь»: положительные значения угла В вызывают вращение против часовой стрелки (СС]У) относительно оси, если наблюдатель смотрит внутрь, по направлению к началу отсчета, с точки, находящейся на положительном направлении оси.
Три основных положительных поворота приведены на рис. 5.251.
Такая формулировка совместима также с нашим пониманием двумерных поворотов: положительный двумерный поворот эквивалентен 2-вращению, если смотреть на плоскость ху из точки на положительной ОСИ 2.
Отметим, что происходит в рамках этого соглашения для частного случая поворота на 90°: О при 2-вращении ось х поворачивается в сторону оси у; О при х-вращении ось у поворачивается в сторону оси г; О при г/-вращении ось г поворачивается в сторону оси х.
Ниже приведены три матрицы, представляющие преобразования поворота точек на угол 3 относительно координатной оси. Здесь мы используем естественную запись Ях( ), ) и Яг( ) для обозначения соответственно х-, у- и 2-вращений; параметром является угол в радианах, на который поворачиваются точки; кроме того, введены обозначения с для соз(З) и 5 для 5т(3): 1. х-вращение: