аЧ-Ъ/2 + с1и
(где использован тот факт, что а + Ь + с - 0, что следует из определения этих векторов). Чтобы исключить член, содержащий параметр и, умножим скалярно обе части этого уравнения на с, откуда £ = (1/2) х х (Ь с)/(а1 с). Для нахождения 5 используем это значение ? в формуле для срединного перпендикуляра. Тогда получим А + а/2 + аЧ, откуда следует простая явная форма1:
Радиус описанной окружности равен расстоянию от 5 до любой из трех вершин - иными словами, \S-Al Поэтому мы должны просто вычислить длину вектора, входящего в правую часть уравнения (4.57). После некоторых преобразований (проверьте их) получим:
А когда S и радиус известны, мы можем использовать подпрограмму drawCircleO из главы 3 для вычерчивания описанной окружности.
Пример 4.6.2
Найдите срединный перпендикуляр L для отрезка 5, имеющего концевые точки А = (3, 5) и В - (9,3). Решение Непосредственным вычислением находим середину отрезка М = (6,4) и вектор (В - А)1 = (2, 6), тогда представление L будет иметь вид: L(t) = (6 + 2t, 4 + 6t). Чтобы увидеть этот результат, полезно начертить S и L.
Каждый треугольник имеет также вписанную окружность (inscribed circle), которую иногда требуется вычислить в контексте автоматизированного проектирования. В тематическом задании в конце этой главы мы покажем, как это делается, а также рассмотрим любопытную девятиточечную окружность (nine-point circle).
1 Другие аналитические выражения для 5уже появлялись ранее (например, в [Goldman, 84].
Векторные инструменты для графики
Практическое упражнение 4.6.5. Срединный перпендикуляр
Найдите параметрическое выражение срединного перпендикуляра для отрезка с концевыми точками А = (О,6) и В = (4,0). Начертите отрезок и перпендикуляр.
4.7. Пересечения прямых с плоскостями; отсечение Задача нахождения точек пересечения прямой линии с другой прямой или с плоскостью возникает в графике в удивительно разнообразных ситуациях. Мы уже имели дело в предыдущем разделе с одним таким подходом, когда определяется точка пересечения двух отрезков прямых. В том методе использовались параметрические представления обоих отрезков и совместно решались два уравнения.