4 " *--3 + 4І /--3 + 4І
5/
--'-> Re --^-► Reа б Рис Б.1. Диаграмма Аргана Поскольку точка (3,4) находится на расстоянии V32 +42 = 5 от начала координат, говорят, что комплексное число с = а + Ы имеет величину (magnitude), или модуль (modulus), равный
Ic^JT+b1.Неудивительно, что угол (angle), или аргумент (argument), числа с = а + Ы - это угол ф на рис. 15.1, б. Аргумент числа z часто обозначают Arg(z), тогда Arg(z) - ф. Следовательно, вещественная часть числа с равна |с| cos(0), а его мнимая часть равна |с| sin(0), поэтому можно записать число с в тригонометрической («полярной») форме: С - |с| COS0 + І\с\ БІП0.
Предположим, что комплексное число z имеет тригонометрическую форму z - \z\ (COS0 + і sin0) (то есть обладает модулем \z\ и аргументом 0). Умножим с на 2 и упростим результат:
cz - |с| (cos0 + і sin0) \z\ (cos0 + і sin0) - |с| \z\ (cos(0 + 0) + i'sin(0 + 0)). (Б.2)
Можно сделать следующие выводы: О модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению их модулей; О аргумент произведения двух комплексных чисел равен сумме их аргументов.
Рисунок Б.2 иллюстрирует геометрический смысл сложения и умножения комплексных чисел. Сложение комплексных чисел (рис. Б.2, а) подчиняется тем же правилам, что и сложение векторов. Умножение комплексных чисел показано на рис. Б.2, б. Отметим, что треугольник, образованный точками 0,1 и с, подобен треугольнику, образованному точками 0, г и cz, поэтому умножение на комплексное число преобразует треугольник в подобный ему треугольник.
1 Названа по имени Жана Робера Аргана (Jean Robert Argand), швейцарского счетовода, который описал такую диаграмму в 1806 году. В действительности норвежский топограф Каспер Вессель (Casper Wessel) описал такую же диаграмму девятью годами ранее, и примерно в это же время ее применял Гаусс.
Приложение Б. Немного математики для компьютерной графики Полагая в уравнении (Б.2) г - с, получим г2 = |г|2 (соз20 + шп20), что можно обобщить в выраже-ние для г". (Какое?) Полагая \г\ = 1, получаем знаменитую формулу Муавра (БєМоіугє)1: