TVP-(ac)b-(ab) с.1
Скалярно-векторное произведение четырех векторов Для любых четырех трехмерных векторов а, Ь, с, d справедливо равенство: (а х Ь) (с х d) - (а с) (Ь d) - (а d) (Ь с).2
БЗ. Арифметика комплексных чисел Вообще говоря, в геометрических методах компьютерной графики комплексные числа использовать не обязательно. Однако в силу того, что комплексные числа и операции с ними предоставляют возможность по-новому взглянуть на некоторые факты, их все-таки стоит изучить. В данном приложении собраны в одном месте элементарные сведения об арифметике комплексных чисел, чтобы освежить память у тех читателей, которые когда-либо встречались с ней.
Комплексное число, например 2 = 3 + 4z, состоит из двух частей. Его вещественная (real) часть, обозначаемая Re(z), равна 3, а его так называемая мнимая (imaginary) часть, обозначаемая Im(z), равна 4. Число і, определяемое равенством і2 - -1, обычно записывается в виде / = >/ч.На самом деле в этих объектах нет ничего комплексного или мнимого; они просто определяются набором правил, в соответ1 Если двойное векторное произведение раскрыть в виде: а х (b х с) - Ь (а с) - с (а Ь), то можно использовать мнемоническое правило «бац минус цаб». - Примеч. пер.
2 Тождество Лагранжа. - Примеч. пер.
БЗ. Арифметика комплексных чисел ствии с которыми над ними производятся операции. При выполнении арифметики применяются следующие операции: О сложение: (а + Ы) + (с + di) = (а + c) + (b + d) і; О умножение: (а + Ы) * (с + di) - (ас - bd) + (ас + cd) і, причем здесь член bdi2 заменен на -bd в соответствии с правилом і2 = -1. Например, (3 + 2t) + (1 + і) = - 4 + Зі, а (3 + 2i) (l + f) = l + 5і.
Благодаря соответствию комплексных чисел точкам на плоскости эти числа и операции с ними имеют глубокий геометрический смысл. Комплексное число х + уі связывается с точкой (х, у) в обычной прямоугольной системе координат. Координата х соответствует вещественной части этого числа, а координата у - его мнимой части. Например, числу 3 + Аі соответствует точка (3,4). Любое комплексное число может быть «отмечено» на плоскости. Такое представление называется диаграммой Аргана (Argand diagram)1. На рис. 15.1, а показано комплексное число 3 + Аі, нарисованное в виде точки (3,4). Для усиления связи с комплексными числами обычная ось х часто называется вещественной осью, а ось у - мнимой осью.