Рис. 8.86. Планета, построенная с использованием броуновского движения, наблюдаемая с поверхности планеты, построенной с использованием фрактального броуновского движения с добавленными кратерами на заднем плане (перепечатано с разрешения Р. В. Восса (R. V. Voss) и Б. Б. Мандельброта из книги Benoit В. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature (W. H. Freeman and Co., New York, 1983» верхность горы, соединив возвышения в виде набора многоугольных участков. Если случайные возвышения генерируются на поверхности сферы, можно смоделировать горы, долины и океаны планеты. На рис. 8.86 броуновское движение использовалось для создания вариаций высот на поверхности планеты. Здесь отметки высот обозначены в цвете так, что наиболее низкие точки изображены синим (океаны), а наиболее высокие (снег на горах) - белым. Дробное броуновское движение использовалось для создания элементов ландшафта на заднем плане. Кратеры созданы со случайными диаметрами и случайными положениями с помощью аффинных фрактальных процедур, которые близко описывают распределение наблюдаемых кратеров, островов на реках, дождевых узоров и других подобных систем объектов.
Меняя фрактальную размерность в расчете броуновского движения, можно варьировать неровности элементов ландшафта. Значения фрактальной размерности порядка I? ~ 2,15 дают реалистичные изображения гор, а большие (около 3) можно использовать для создания необычных внеземных ландшафтов. Рассчитанные возвышения также масштабируются, чтобы углубить долины и увеличить высоту горных пиков. Некоторые особенности ландшафта, которые можно смоделировать с помощью фрактальных процедур, представлены на рис. 8.87. Сцена, смоделированная с фрактальными облаками на фоне фрактальной горы, показана на рис. 8.88.
МЕТОДЫ СЛУЧАЙНОГО СМЕЩЕНИЯ СРЕДНЕЙ ТОЧКИ
Расчеты фрактального броуновского движения являются трудоемким процессом, поскольку координаты возвышения поверхности над уровнем моря (“нулевой плоскостью”) рассчитываются с помощью ряда Фурье - суммы синусоидальных и косинусоидальных слагаемых. Обычно, правда, используются методы быстрого преобра-
Рис. 8.87. Вариации элементов ландшафта, смоделированные с использованием дробного броуновского движения (перепечатано с разрешения Р. Восса и Б. Мандельброта из книги Benoit В. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature (W. H. Freeman and Co., New York, 1983) (панель а); Кена Масгрейва (Ken Musgrave) и Б. Мандельброта, факультет математики и информатики, Йельский университет) (панели б ив)
зования Фурье (БПФ), но генерация сцен с фрактальными горами все еще является медленным процессом. Поэтому для аппроксимации представлений ландшафтов и других природных явлений через фрактальное броуновское движение были разработаны более быстрые методы случайного смещения средней точки, подобные методам случайного смещения, используемым в геометрических построениях. Первоначально эти методы использовались для генерации анимационных последовательностей для научно-фантастических фильмов, включающих неземные пейзажи. В настоящее время методы смещения средней точки широко используются во многих других приложениях компьютерной графики, включая анимацию для телерекламы.