Для кватерииоиа ц можно определить сопряженный кватернион ц , определив его следующим образом: а<7* = (и'+х/' + уу + гЛ) = у/-хл-у}-гк- (1.45)
Для операции сопряжения кватернионов справедливы следующие свойства:
(О
(рч)' = чр\
(р + Й)' = р+д. (146)
Глава I. Координаты и их преобразования Можно определить норму кватерниона следующим образом: Ы(4) = }кгг+хг+уг + 1г. (1.47) Для введенной таким образом нормы справедливы следующие свойства:
N N(4). .....н(ря) = н(р)н(ч). (148)
Единичным кватернионом называется такой кватернион ц, что Ы(ч) = \.
Для ненулевого кватерииоиа ц можно ввести понятие обратного кватерниона ц'х: ч.ц-х =Я-1Я = 1. (1.49)
Для этого заметим, что ЧЧ =4-4 = ^(ч)-Тогда обратный кватернион можно определить следующим образом: Для обратного кватерииоиа выполнены следующие свойства:
(«-)"=*(«Г-«-у. (151)
Обратите внимание, что для единичного кватерииоиа обратный к нему совпадает с сопряженным.
Кватернион д = н>+х1 + у] + гк можно также представить в следующем виде: ц = [и>, у], где V = х1 + у/ + гк - трехмерный вектор. Если считать V
обычным трехмерным вектором, то произведение кватернионов можно представить следующим образом: ЧхЧг =К.у1]-К,у1] =
^^^-у^^^+к^+у^у,}. (1 52)
Также кватернионы можно рассматривать как четырехмерные векторы, т. е. для них можно ввести скалярное произведение
<7. 'Яг = vf,w2 +xlx2 + yly1+zlzl.. (1.53)
. Заметим, что единичный кватернион всегда может быть представлен в следующем виде:
q = [cos 0,v sin0], (1.54)где длина вектора v равна единице.
Обратите внимание, что для единичного кватерниона q справедливо
q" = [cos(n0), vsin(nG)]. (1.55)Это позволяет ввести для единичного кватерниона операцию возведения в произвольную вещественную степень следующим образом:
q' = [cos (t0), v sin (t0)] . (1.56)Для поворота вектора v с использованием кватерниона запишем этот вектор как кватернион [0, v]. Тогда поворот может быть задан при помощи единичного кватерниона q в соответствии со следующей формулой: