Б.4. Евклидово пространство Хотя аффинное пространство и содержит все элементы, необходимые для построения геометрических моделей, в нем отсутствует понятие расстояния между двумя точками, а соответственно и понятие длины вектора. Аффинное пространство, дополненное понятием расстояния (меры длины), превращается в евклидово.
Евклидово пространство £ содержит скаляры (а, (3, у, ) и векторы (//, V, м\ …) причем скаляры представляют собой действительные числа. В евклидовом пространстве вводится новая операция - скалярное произведение, операндами которой являются векторы, а результатом - скаляр. Операция скалярного произведения обладает следующими свойствами: для любых трех векторов и, V, и' и двух скаляров а, (3 выполняются соотношения и\' = у и.
(ш< + (3 \>) н1 = аи и- + (3 v уу. v- \> > 0. если г- ф 0. 0 0 = 0.
Если и v = 0, то векторы и и г ортогональны. Модуль (длина) вектора в евклидовом пространстве определяется соотношением Поскольку евклидово пространство унаследовало от аффинного, кроме векторов и скаляров, еще и точки, то в нем можно определить и понятие расстояния между точками Р и С;, как производное от длины вектора Р-() :
\Р-О\ = у1(Р-0)-(Р-0).
Операция скалярного произведения дает нам и меру угла между двумя векторами: м-\' = |н||у|с050.
Несложно показать, что определенное по этой формуле значение собО лежит в интервале (-1, +1) и равно нулю в том случае, если векторы ортогональны. Если векторы параллельны (и = аг), то [соэв) = 1.
Приложение Б. Абстрактные пространства в компьютерной графике Б.5. Проекции вектора Из свойства ортогональности двух векторов следует несколько важных для практики понятий. Понятие проекции возникло при решении задачи определения кратчайшего расстояния между точкой и прямой (или плоскостью). Пусть заданы два непараллельных вектора г и и-. Один из них, и<, можно представить в виде суммы двух векторов, один из которых параллелен V, а другой - ортогонален ему (рис. Б.7):
XV = ау + и.
Вектор осг, первое слагаемое, параллелен г, и вектор и, второе слагаемое, - ортогонален V. Следовательно, и V = О,