Замена матрицы 3x3 матрицей 1x9 (тензором ранга 1) приведет к утере части информации, заключенной во внутренней структуре массива 3x3; следовательно, для визуализации такого тензорного поля нельзя применить те методы, которые мы использовали для визуализации векторных полей. Поле напряжений в конструкции можно наглядно отобразить, например, с помощью маленьких кубиков, каждый из которых "перекошен" под воздействием локальных напряжений в соответствии со значениями элементов матрицы напряжений 3x3. Другой метод - отобразить на экране свойства локальных матриц напряжения в каждой точке объема. Если, например, матрица симметрическая - именно так обстоит дело в большинстве случаев, - то ее можно разложить на собственные числа и собственные векторы, т.е. можно представить матрицу М в виде М = У'ЛУ, где матрица Л является диагональной, а V есть матрица вращения, т.е. УТ= V"1. Три диагональных элемента матрицы Л - Хи Х2 и Х3 - это собственные числа матрицы М, а столбцы матрицы V - ее собственные векторы. Собственные числа являются одной из главных характеристик матрицы.
С тремя собственными числами матрицы можно ассоциировать эллипсоид. Изоповерхности квадратичной формы х'Мх сами по себе являются квадратичными, поскольку
3 3 ,=012.7. Визуализация тензорных полей Подстановка у = Vx вместо х изменяет вид квадратичной формы: x'Mx = yrV'MVy = у/Лу = £А,у; .
Если все три собственных числа матрицы положительны, то квадратичная поверхность является эллипсоидом и матрица V поворачивает исходный фрейм таким образом, что его оси становятся параллельны главным осям эллипсоида. Собственные числа характеризуют длины трех главных осей эллипсоида. Поскольку форма эллипсоида однозначно соответствует виду матрицы тензора, то для визуализации такого тензорного поля удобно использовать бусинки в форме эллипсоида, которые наглядно представят информацию о характеристиках матрицы напряжения в каждой точке объема. Собственные векторы определяют ориентацию эллипсоида в пространстве.
12.8. Резюме