10.13. Резюме
10.14. Рекомендуемая литература Прекрасное введение в геометрию кривых и поверхностей читатель найдет в книге Фарина (Farin) [Far88J. Введение к этой книге написано Безье, и в нем рассказано о том, как он и де Кастельо (de Casteljau) почти одновременно изобрели форму представления поверхностей, которая увековечила затем его имя. К сожалению, исследование де Кастельо не было опубликовано в доступной всем печати (это был внутренний отчет), и потому его имя очень мало известно в научных кругах. Самые разнообразные варианты сплайнов рассматриваются в книгах Роджерса (Rogers) [Rog90J, Фоли (Foley) [Fol90J, Бар-тельса (Bartels) [Ваг87] и Уатта (Watt) [Wai93].
В книге Фокса (Faux) [Fau80] обсуждается подход к построению кривых и поверхностей, не зависящий от частного вида системы координат.
Хотя книга, вышедшая под редакцией Гласснера (Glassner), [Gla89], в первую очередь касается проблематики трассировки лучей, помещенный в ней раздел, написанный Хейнесом (Haines), содержит очень интересный материал, касающийся работы с квадратичными и другими алгебраическими поверхностями.
Упражнения
10.1. Рассмотрим уравнение алгебраической поверхности ßx, у, г)=0, в котором каждый член может содержать х, у и г в степени не выше т. Каково максимально возможное количество членов в функции р.
10.2. Рассмотрим уравнения в явном виде у=Дх) и z=g(x). Кривую какого типа они описывают?
10.3. Пусть имеется полином p(u) = ^jciuk. Найдите другой полином g(v) = ^dtv*, такой, что для каждой точки р(и) в интервале (а, Ь) значения параметра и существовала бы равная ей точка q(v) в интервале 0 < v < 1.
10.4. Покажите, что если каждой из четырех опорных точек кубической интерполяционной кривой соответствуют отличающиеся значения параметра и, то базисная интерполяционная матрица существует.
10.5. Покажите, что полиномы Бернштейна на интервале (0, 1) должны иметь значения меньше 1.
10.6. Покажите, что кубический сплайн имеет класс непрерывности С2.
10.7. В разделе 10.9 было показано, что кубическую полиномиальную кривую можно представить в форме Безье, подобрав соответствующим образом опорные точки, или, что то же самое, подобрав форму выпуклой оболочки. Покажите, как с учетом этого факта организовать вычисление промежуточных точек интерполяционной кубической кривой с помощью средств работы с кривыми Безье, которые имеются в составе OpenGL.