Рис. 9.43. Побочные составляющей гармонического колебания
Рис. 9.44. Сканирование изображения: а - точечная выборка; б -усреднение по области Подбирая 5, размер области усреднения, и весовую функцию и1, можно ослабить высокочастотные составляющие в изображении и таким образом частично избавиться от нежелательных эффектов. К счастью, реальные сканеры всегда имеют конечную
апертуру, так что усреднение происходит в любом случае, даже если пользователь об этом и не подозревает.
9.9.2. Восстановление непрерывной функции по дискретным выборкам Предположим, что в нашем распоряжении имеется решетчатая функция (множество выборок), полученная при дискретизации функции одной переменной, причем частота дискретизации выбрана таким образом, что критерий Найквиста удовлетворяется. Восстановление исходной непрерывной функции по имеющейся решетчатой основано на второй части теоремы Найквиста о выборках.
Теорема Найквиста о выборках (часть 2). Непрерывную функцию т\х) можно восстановить по соответствующей решетчатой {/}, воспользовавшись формулой
9.9. Дискретизация изображения
/(*)= ^/.^(х-х,), где функция Бтфг) определена следующим образом (рис. 9.45):
Рис. 9.45. Функция sinc(x)
Для функции двух переменных j\x, у) формула восстановления по идеальной решетчатой функции {fn} принимает вид
/(*.>')=£ J /ysinc(x-x,)sinc(y-y;).Из этих формул следует, что при отсутствии искажающих побочных частот в спектре решетчатой функции можно восстановить по ней исходную непрерывную функцию с помощью фильтра с полосой частот, ограниченной интервалом (-4/2, 4/2), - фильтра низких частот. Восстановление функции одной переменной показано на рис. 9.46. При восстановлении функции двух переменных необходимо использовать фильтр, воспроизводящий двухмерную функцию sinc(.x, у), представленную на рис. 9.47. К сожалению, не представляется возможным воспроизвести эту функцию в реально существующих системах отображения, поскольку в некоторой области значения функции отрицательны. Рассмотрим с этой точки зрения дисплей на ЭЛТ. В нашем распоряжении имеется дискретизированное изображение- массив выборок. Подавая определенные сигналы в отклоняющую систему, можно вывести электронный луч ЭЛТ в точку экрана, соответствующую узлу сетки дискретизации. Значение выборки задает интенсивность свечения этой точки, которым можно управлять, изменяя ток электронного луча. Форма светового пятна на экране определяется системой фокусировки электронного луча. Если пытаться точно воспроизвести формулу восстановления, то распределение интенсивности в пятне должно воспроизводить вид функции sinc(*, у), но это физически невозможно, поскольку электронный луч не может иметь отрицательную интенсивность. Следовательно, использование для восстановления изображения реальных физических приборов принципиально сопряжено с внесением искажений в исходное изображение. Можно проанализировать, насколько отличается реальная функция распределения интенсивности пятна от идеальной функции sine. На рис. 9.49 показаны возможные варианты приближенного воспроизведения одномерной функции sine. Гауссова кривая распределения характерна для ЭЛТ, а прямоугольная форма - для жидкокристаллических экранов с квадратной формой пикселя. Учтите, что в определенных пределах размер пятна можно регулировать. Анализ функции распределения интенсивности пятна в частотной области показывает, что при увеличении