Объекты и геометрические преобразования
Мы будем рассматривать ограниченный класс преобразований в четырехмерном пространстве однородных координат. В этом пространстве и точки, и векторы представляются как вершины, т.е. как наборы из четырех чисел9. Этот класс можно определить формально, наложив определенные ограничения на вид функции Д). Наиболее важное ограничение - линейность преобразования. Функция является линейной тогда и только тогда, когда для любых скаляров а и Р и для любых вершин р и <7 выполняется соотношение Особое значение такого свойства преобразований состоит в том, что если известно преобразование вершин, то всегда можно получить и преобразование линейной комбинации вершин, используя для этого линейную комбинацию преобразований. В результате отпадает необходимость в повторном вычислении преобразований вершин при определении преобразования их линейной комбинации.
В четырехмерном пространстве мы работаем с представлениями точек и векторов. Линейное преобразование, которое трансформирует представление точки (или вектора) в другое представление, всегда может быть записано в терминах двух представлений и и V с помощью перемножения матриц:
V = Аи, где А - квадратная матрица. Сравнивая это выражение с полученным в разделе 4.3 для операции изменения фрейма, приходим к выводу, что, если А невырождена, любое линейное преобразование соответствует изменению фрейма. Следовательно, линейное преобразование можно рассматривать с двух точек зрения: как изменение представления или фрейма, которое приводит к новому представлению вершин, или как преобразование вершин в рамках того же фрейма.
При выполнении операций в однородных координатах А представляет собой матрицу 4x4, которая оставляет неизменным четвертый компонент представления (м>). Матрица А имеет вид Двенадцать элементов матрицы могут изменяться произвольным образом, и мы говорим о таком преобразовании, что оно имеет 12 степеней свободы (degrees of freedom). Но точки и векторы в аффинном пространстве имеют немного другое представление. Любой вектор можно представить в виде