Возможно, наиболее важным математическим пространством является векторное (линейное) пространство. Векторное пространство содержит две различные сущности - векторы и скаляры. В этом пространстве существуют правила объединения скаляров с помощью двух операций {сложения и перемножения), и, таким образом, определено скалярное поле. Примерами скаляров могут быть вещественные и комплексные числа, а также рациональные функции. В векторном пространстве можно комбинировать скаляры и векторы и создавать новые векторы с помощью операции умножения скаляра на вектор. Можно также комбинировать и векторы с помощью операции сложения векторов. Примерами математических векторных пространств являются и-группы действительных чисел, решение однородных линейных дифференциальных уравнений и геометрические операции над направленными линейными отрезками.
Аффинное пространство - это расширение векторного пространства, в которое включен дополнительный тип объектов - точка. В аффинном пространстве определена операция сложения точки и вектора, результатом которой является новая точка. Обратной ей является операция вычитания двух точек, результатом которой будет вектор.
В линейном векторном пространстве отсутствует способ измерения скалярных величин. Евклидово пространство - это расширение векторного пространства, в которое введена мера для измерения расстояния (размера).
В этих абстрактных пространствах объекты могут быть определены независимо от конкретного представления - они просто являются элементами некоторых множеств. Одна из основных концепций векторного пространства состоит в представлении любого вектора в терминах одного или нескольких множеств базисных векторов. Представление обеспечивает связь между абстрактными объектами и их реализацией, а взаимные преобразования одних представлений в другие приводят нас к геометрическим преобразованиям.
4.1.3. Информационное определение Хотя математики предпочитают иметь дело со скалярами, точками и векторами как членами множеств, которые можно комбинировать в соответствии с определенными аксиомами, для специалистов по информатике привычнее и ближе рассматривать их как абстрактные типы данных - АТД (ADT- abstract data types). Абстрактный тип данных - есть множество операций над некоторыми данными, причем операции определяются независимо от внутреннего представления данных или от способа их реализации в конкретной системе. Понятие абстрагирование от данных (data abstraction) является фундаментальным в современной науке о компьютерной обработке информации. Например, операция включения нового элемента в список или перемножения двух многочленов может быть определена независимо от того, как именно хранится список или как представлены действительные числа в данном компьютере. Те, для кого эта концепция стала привычной, безо всякого труда воспринимают разницу между понятием объекта (или операции над объектами) и представлением объектов (или их реализацией) в конкретной системе. С точки зрения информатики нам требуется