6. Покажите, что триангуляция Делоне однозначно определена, если никакие 4 точки набора £ не принадлежат одной окружности.
Глава 9
Преобразования в пространстве, проектирование Обратимся теперь к трехмерному случаю (ЗЭ) (З-сНтепзюп) и начнем наше рассмотрение сразу с введения однородных координат.
Поступая аналогично тому, как это было сделано в размерности два, заменим координатную тройку (х, у, г), задающую точку в пространстве, на четверку чисел (х, у, г, 1) или, более общо, на четверку
{кх, ку, \\2, к), к * 0.
Каждая точка пространства (кроме начальной точки О) может быть задана четверкой одновременно не равных нулю чисел; эта четверка чисел определена однозначно с точностью до общего множителя.
Предложенный переход к новому способу задания точек дает возможность воспользоваться матричной записью и в более сложных, трехмерных задачах.
Любое аффинное преобразование в трехмерном пространстве может быть представлено в виде суперпозиции вращений, растяжений, отражений и переносов. Поэтому вполне уместно сначала подробно описать матрицы именно этих преобразований (ясно, что в данном случае порядок матриц должен быть равен четырем).
А. Матрицы вращения в пространстве.
Матрица вращения вокруг оси абсцисс на угол (рг.
Матрица вращения вокруг оси аппликат на угол х-
Замечание. Полезно обратить внимание на место знака "-" в каждой из трех приведенных матриц.
9. Преобразования в пространстве, проектирование Б. Матрица растяжения (сжатия): где ос > 0 - коэффициент растяжения (сжатия) вдоль оси абсцисс; Р > 0 - коэффициент растяжения (сжатия) вдоль оси ординат; у > 0 - коэффициент растяжения (сжатия) вдоль оси аппликат.
В. Матрицы отражения.
Матрица отражения относительно плоскости ху\
Матрица отражения относительно плоскости уг:
Матрица отражения относительно плоскости 2х\
Г. Матрица переноса (здесь (Я, /л, у) - вектор переноса):
Замечание. Как и в двумерном случае, все выписанные матрицы невырожденны.
Приведем важный пример построения матрицы сложного преобразования по его геометрическому описанию.