U.S. Свойства кривых Безье
11.4.8. Кривые Безье интерполируют оба конца Покажите, что кривая Безье порядка ь проходит через две крайние контрольные точки Р(0) - Р0 и Р( 1) ~ Рг Проделайте это путем исследования значений полиномов Бернштейиа при г " 0 и г - 1: покажите, что для этих концевых точек все члены полиномов, за исключением одного, обращаются в нуль.
Кривые Безье обладают несколькими важными свойствами, которые делают их весьма удобными в системах CAGD. Позднее мы увидим, что такими же свойствами обладают и В-сплайны. Исследование различных свойств и их доказательство имеют большое значение для понимания сути кривых Безье.
Интерполяция в концевых точках
Кривая Безье Р(г) на базе контрольных точек Р0, Р,.....PL в общем случае не проходит через все свои контрольные точки; иначе говоря, не интерполирует их. Однако мы уже видели, что она всегда интерполирует точки Р0 и Рг Это очень полезное свойство, поскольку дизайнер, вводя последовательность точек, в точности знает, где кривая Безье будет начинаться и где кончаться.
Аффинная инвариантность
Часто требуется подвергнуть кривую Безье аффинному преобразованию, чтобы масштабировать, ориентировать или позиционировать ее для дальнейшего использования. Предположим, что мы хотим преобразовать точку P(t) на кривой Безье, заданную уравнением (11.25), в новую точку Q(t), используя аффинное преобразование Г (представленное матрицей три на три в двумерном случае и матрицей четыре на четыре-в трехмерном). Тогда Q(t) = T(P(t)). На первый взгляд кажется, что для определения точки Q(t) при любом заданном значении t необходимо вначале вычислить точку P(t) и затем преобразовать ее, начиная заново при каждом новом значении t. Однако в действительности это не так: требуется преобразовать только контрольные точки (всего один раз) н затем применить эти контрольные точки в топ же самой форме Бернштейна, чтобы получить преобразованную кривую Безье для любого значения г! Это значит, что Аффинная инвариантность означает, что преобразованная кривая идентична кривой, построенной на базе преобразованных контрольных точек.