11.4.2. Квадратичные кривые должны быть плоскими Докажите следующее утверждение: существует единственная квадратичная кривая, проходящая через три (различные) точки. Памятуя о том, что три (неколлинеарные) точки определяют плоскость, покажите, что квадратичная кривая, определяемая этими точками, никогда не выходит из этой плоскости. Это означает, что парабола никогда не может выйти из плоскости. В качестве дополнительного задания покажите, что кубическая кривая может быть неплоской.
11.4.3. Кривая Безье в терминах функции Tween()
Обратимся вновь к функции TweenC) из раздела «Линейная интерполяция двух точек» главы 4. Эта функция принимает в качестве своих аргументов две точки и возвращает «твин» этих точек для заданного значения t. Покажите, что функция Р(г) из уравнения (11.20) может быть записана так:
Tween(Tween(PO.Pl.t) ,Tween(Pl.P2.t) ,t).Напишите аналогичное выражение для случая кубической функции.
11.4.4. Кубическая кривая Безье Напишите последовательность твинов, аналогично предыдущему упражнению, и покажите правильность параметрической формы кривой Безье из уравнения (11.21).
11.4.5. Обоснование кривых Безье С помощью уравнения (11.21) вычислите положение точки P(t) в моменты времени t - 0,2, 0,5, 0,9 для четырех контрольных точек (2,3), (6,6), (8,1), (4, -3). Нарисуйте взвешенные векторы, как это сделано на рис. 11.15, которые приводят к результирующему значению P(t).
11.4.6. Кривые Безье четвертого и пятого порядков Напишите функции Бернштейна из уравнения (11.26) для случая L = 4. Покажите, что эти функции совпадают с членами разложения выражения [(1 - Г) +1]4. Проделайте то же самое для случая L - 5.
11:4.7. Рекурсивное соотношение для полиномов Бернштейна Покажите, что полином Бернштейна п-то порядка можно всегда получить из полиномов (и - 1)-го порядка с помощью рекуррентной формулы
д;(0=(1-гК"'(0+^м(0. (п.29)
где Вд (/) = 1, а В" (t) = 0, если j находится вне диапазона 0,…, и.
Подсказка: п
К1 J
к 1 J
+
1-11 Бином Ньютона. - Примеч. пер.