2. с - -2: в этом случае оказывается, что плотное множество Жюлиа состоит из всех точек, лежащих на вещественной оси между -2 и 2. Доказать это отнюдь не просто [Peitgen, 156], однако легко проиллюстрировать, вычислив вручную соответствующие орбиты (как минимум несколько первых дюжин точек) для различных стартовых значений в интервале от -2 до 2.
Для всех остальных значений с множество Кс является чрезвычайно сложным. (Фактически оно является фракталом!) Доказано, что каждое множество Kt принадлежит к одному из двух типов [Peitgen, 157]: О Кс - связное множество (оно состоит из одного «куска»); О Кс - множество Кантора (Cantor set), то есть является «пылевым облаком»'.
Замечательным теоретическим результатом является то, что Кс является связным множеством в точности для тех значений параметра с, которые лежат внутри множества Мандельброта! Поэтому в примере 9.71, где с = -1 и лежит внутри М, множество К- связное, однако по-прежнему является фракталом.
1 Классическое множество Кантора базируется на вещественном интервале [0,1]. Удаляем среднюю треть этого интервала, так что остаются интервалы [0,1 /3] и [2/3,1]. Теперь удаляем среднюю треть каждого из этих интервалов, затем среднюю треть каждого из оставшихся и т. д. В пределе остается бесконечное число точек, однако между ними нет промежутков. (Если каждую точку представить в троичной системе счисления (например, так: 0.012100201), то в представлениях остающихся точек не будет содержаться единиц.)
9.7. Множества Жюлиа
9.7.4. Множество Жюлиа Jc
Нетрудно декларировать, чем является множество Жюлиа для любого заданного значения с: оно является границей множества Кс. Поскольку Кс - это множество всех стартовых точек, имеющих конечные орбиты, то каждая точка вне Кс обладает взрывной орбитой. Можно сказать, что все точки вдоль границы Кс «занимают выжидательную позицию»: чуть-чуть внутрь границы - и все орбиты остаются конечными; чуть-чуть вне ее - и все орбиты улетают в бесконечность. Если точка s принадлежит множеству/^ то любое сколь угодно малое возмущение s фундаментальным образом изменяет ее орбиту. Это очень близко к понятию хаоса, рассматриваемому в тематическом задании 3.1: бесконечно малые изменения в системе приводят к кардинально различному поведению.