9.5.2. Теоретические основы процесса копирования Для того чтобы описать, как формируется изображение в S-копире, введем несколько новых терминов. Каждая линза копира создает изображение посредством преобразования каждой точки входного изображения и рисования ее в выходном изображении. Черно-белое изображение 7 можно описать просто множеством его черных точек: 7 = множество всех черных точек - {(х, у) таких, что (х, у) окрашено в черный цвет}.
Пусть 7 - изображение на входе копира. Тогда i-я линза, характеризуемая преобразованием ТР строит новое множество точек, которое мы обозначим Г.(7), и добавляет его к изображению, создаваемому при текущей итерации. Каждое добавленное множество Г(7) является множеством всех преобразованных точек изображения 7:
7](7) = {(х\ у') таких, что (х', у') = 7](Р) для некоторой точки Р в 7}.
При совмещении этих трех преобразованных изображений мы получим выходное изображение КЙс объединение выходов из всех трех линз: выходное изображение = 7,(7) и Г2(7) и Тз(7). (9.4)
9.5. Создание изображений с использованием системы итерируемых функций Обозначим через W(.) суммарное преобразование от изображения на входе до изображения на выходе (за один проход через копир). Оно преобразует одно множество точек - одно изображение - в другое множество точек и определяется выражением:
WO- Т{.) иГ2(.)иГ,(.). (9.5) Например, «копия» первого изображения 70 - это множество W(I0).
А что произойдет, если мы будем циклически итерировать копии через копир бесконечное число раз? То есть к какому изображению сходится орбита изображений 70, 72,…? Барнсли показал, что при мягких ограничениях, накладываемых на IFS (грубо говоря, каждое аффинное отображение должно хотя бы слегка «уменьшать» размер своего изображения1), орбита действительно сходится к единственному изображению, именуемому аттрактором (attractor) IFS2, то есть точкой притяжения. (Аттрактором IFS в примере 9.5.1 является ковер Серпинского.) Будем обозначать аттрактор как множество А; некоторые его важнейшие свойства приведены ниже.