9.4. Замощение плоскости Множество ярких мозаичных стен и полов в Альхамбре (Испания) доказывает нам, что мавры были великие мастера в заполнении плоскостей одинаковыми фигурами, прилегающими друг к другу без зазоров.
Как жаль, что их религия запрещает им рисовать картины!
М. К. Эшер (М. С. Escher)
Еще один путь движения к бесконечности - повторять какую-нибудь форму снова и снова, покрывая в конце концов всю плоскость копиями этой формы. Мы уже рассматривали некоторые способы таких бесконечных повторений в главе 3 - при создании на обоях узоров, бесконечно повторяющихся в двух направлениях. В случае узоров на обоях природа повторяющегося рисунка ничем не ограничивается; любой «мотив» может быть повторен. В данном разделе1 мы исследуем интересный частный случай обойных узоров: периодическое замощение (tiling) или мозаичное представление (tesselation) плоскости простой фигурой. Под этим понимается создание множества копий некоторой формы, такой как полигон, и «укладка» их рядом на манер паззла (jig-saw puzzle), чтобы они без зазоров заполнили всю плоскость.
1 При первом прочтении данный раздел может быть пропущен без потери целостности.
Приближение к бесконечности
Художник М. К. Эшер создал множество занимательных мозаичных представлений, два из которых приведены на рис. 9.13. В первом примере использована фигура одинокого всадника. Повторяющиеся всадники образуют полностью сомкнутые ряды, и более того, эти ряды смыкаются со смежными рядами повернутых всадников. В мозаике «рыбы и птицы» использованы две фигуры, и опять вся плоскость совершенно заполнена. Когда глаз фокусируется на одной или другой детали, передний и задний планы этих фигур меняются местами.
Рис. 9.13. Две мозаики М. К. Эшера (1988 год, М. С Escher Heirs/Cordon Art-Baarn-Holland)
Существует обширная теория замощений, хорошо представленная в энциклопедической работе Грюн-баума и Шефарда (Grunbaum, Shephard (Grunbaum, 96]), хотя многие вопросы еще не получили ответа. Здесь мы остановимся на основных идеях, обращая особое внимание на мозаики, состоящие из полигонов.