len /- 3: // and the length // а также длину
drawKoch(dir. len. n):
dir +- 60;
drawKoch(dir. len. n): dir -= 120:
drawKoch(dir. len. n): dir +- 60:
drawKoch(dir. len. n):
}
}Практические упражнения
9.2.1. «Кохирование» произвольной прямой Укажите этапы, необходимые для рисования кривой Коха и-го порядка между точками А и В.
9.2.2. Длина кривой Коха Покажите, что если прямая длиной L «кохируется» до n-го порядка, то длина каждого наименьшего отрезка прямой равна (L/3)", а общая длина кривой Коха составляет (4Z./3)".
Приближение к бесконечности
9.2.3. Площадь снежинки Коха Рассмотрим семейство снежинок Коха, представленных на рис. 9.2.
О Покажите при помощи простой геометрии, что площадь снежинки S0 равна а0 = L2-JÏ/4, где L - длина одной стороны S0. Добавление «зубцов» всегда увеличивает площадь.
О Покажите, что каждый из зубцов, добавляемых к снежинке 5,, имеет площадь а0/9, а площадь снежинки Sl составляет в, = а0(1 + 1/3).
О Теперь покажите, что для каждого следующего поколения число зубцов увеличивается в четыре раза, а площадь каждого зубца составляет одну девятую часть площади зубца, построенного в предыдущем поколении.
О Напишите формулу для Sk в виде суммы геометрической прогрессии и найдите ее предел при k, стремящемся К оо.
9.2.3. Дробная размерность
В пределе кривая Коха имеет бесконечную длину, хотя и занимает на плоскости ограниченную область. Чему равна ее размерность? Она выглядит более сложной, чем размерность линии (одно измерение), но все же топологически ее размерность равна единице.
Математик Феликс Хаусдорф (Felix Hausdorff) (1868-1942) ввел понятие дробных размерностей на основе анализа простых самоподобных объектов типа прямых, квадратов и кубов. Предположим, например, что мы разбиваем прямую линию единичной длины на N равных отрезков. Очевидно, что отношение длины каждого из отрезков к длине исходной прямой равно г = 1/N. Пока что все хорошо. Теперь проделаем то же с квадратом: разделим его на N одинаковых квадратов, тогда соотношение сторон каждого маленького квадрата к исходному составляет г = 1/N1/2. Проделаем, наконец, ту же самую процедуру над трехмерным объектом - кубом. Разделим его на N одинаковых частей и обнаружим, что отношение стороны каждого «подкуба» к стороне исходного куба равно г = 1/JV1/3 раз. Просматривается закономерность: размерность объекта фигурирует в показателе степени при основании N. Можно дать такое определение: объект обладает размерностью D, если при разделении его на N равных частей каждая часть будет иметь сторону, меньшую, чем сторона исходного объекта, в г = 1/Ni/D раз. После взятия логарифма (по любому основанию) обеих частей этого равенства оно упрощается следующим образом (проверьте это!):