Таблица 6.8. Характеристика шести «базовых» квадрик
|
Название квадрики |
Неявная форма |
Параметрическая форма |
Интервал изменения по V и по и |
|
Эллипсоид |
х2 + у2 + 22 - 1 |
(с05(у) с05(и), с05(у) 5іп(и), 5іп(у)) |
(-я/2, я/2), (-я, я) |
|
Однополостный гиперболоид |
х2 + у2-г2-1 |
(бєс(у) сс«(и), эеф) 5Іп(и), ід(у)) |
(-я/2, я/2), (-я, я) |
|
Двуполостный гиперболоид |
х2 - у2 - Л - 1 |
(эеф) с05(и), бєс(у) ід(и), ід(у)) |
(-я/2, я/2)1 |
|
. Эллиптический конус |
х2 + у2 - 22 |
(ус05(и), у5іп(и), v) |
Любые вещ. числа, (-я, я) |
|
Эллиптический параболоид |
х2 + у2 + 2 |
(усо5(и), уап(и), у2) |
у>0,(-я, я) |
|
Гиперболический параболоид |
-х2 + у2 - 2 |
(уід(и), У5ес(и), у2) |
у>0, (-я, я) |
Отметим, что перемена знака одного из членов внешне-внутренней функции приводит к замене соэ( ) на зес( ) и эт( ) на tg( ) в параметрических формах. Функции эес( ) и tg( ) неограниченно возраДиапазоп по V для полости № 1 составляет (-я/2, я/2), а для полости № 2 - (-я/2, Зя/2).
Глава б. Моделирование поверхностей полигональными сетками стают при стремлении их аргументов к тг/2, поэтому при рисовании и-контуров и ^-контуров соответствующий параметр следует ограничивать меньшим диапазоном.
Некоторые замечания о поверхностях второго порядка Резюмируем кратко некоторые важнейшие свойства каждой из поверхностей второго порядка. Одним из таких свойств является природа следов поверхности. След (trace) - это кривая, образующаяся при пересечении поверхности плоскостью. Все следы поверхности второго порядка являются коническими сечениями (см. упражнения в конце раздела). Главные следы (principal traces) - это кривые, образующиеся в случае, когда секущие плоскости выровнены вдоль осей. Эти секущие плоскости задаются уравнениями г - k,y = k,x = к, где к - константа.
В дальнейших исследованиях мы будем предполагать, что базовые поверхности были промасштабиро-ваны вдоль осей х, у, г масштабными множителями а, Ь, с соответственно, чтобы проще было судить о размерах поверхностей и определять, какая поверхность является поверхностью вращения, а какая - нет.
Эллипсоид. Вспомним из главы 3 неявную и параметрическую формы для эллипса и сравним, как они расширяются при переходе от двумерного эллипса к трехмерному эллипсоиду. Параметры а, Ь, с характеризуют протяженность эллипсоида вдоль каждой оси. Если два из этих параметров равны друг другу, то эллипсоид является поверхностью вращения. (Где находится ось вращения при а - Ь?) Если все три параметра a, b и с одинаковы, то эллипсоид превращается в сферу. Все следы эллипсоида являются эллипсами.