Линейчатые поверхности (их также называют поднятыми, или навесными поверхностями - lofted surfaces) образуются посредством перемещения прямой линии по определенной траектории. Они состоят из множества прямых линий в соответствии с приведенным ниже определением.
Определение. Поверхность называется линейчатой, если через каждую ее точку проходит хотя бы одна прямая, целиком лежащая на этой поверхности.
Поскольку в основе линейчатых поверхностей лежит семейство прямых линий, неудивительно, что в ее параметрическом представлении содержится что-то похожее на параметрическое представление прямой: P(v) = (1 - v)PQ+ vP, где PQ и Р, - точки, a v - единственный параметр. Однако для линейчатых поверхностей точки Р0 и Р, становятся функциями второго параметра и: Р0 становится Р0(и) и Р, становится Р,(и). Тогда параметрическая форма исследуемых нами линейчатых поверхностей будет иметь вид: Функции Р0(и) и Р,(и) определяют кривые, располагающиеся в трехмерном пространстве. Каждая из них описывается тремя функциями-компонентами, так что Р0(и) = (XQ(u), YQ(u), ZQ(u)). Обе эти функции - Р0(и) и Р,(и) - определены в одном и том же интервале и (обычно от 0 до 1). Линейчатая поверхность состоит из прямых линий, соединяющих каждую пару соответствующих точек Р0(и') и Р,(и')> Для каждого и' из интервала (0,1), как показано на рис. 6.51. При v = О поверхность находится «в точке» Р0(и')> а при v = 1 - в точке Р,(м'). Прямую линию для и = и' часто называют образующей (ruling) в точке и'.
6.5.6. Линейчатые поверхности Р(и,о)-(1-о)Р0(и) + оР,(и).
(6.35)6.5. Каркасные аппроксимации гладких объектов
Рис. 6.51. Линейчатая поверхность как семейство прямых линий Для конкретного фиксированного значения xf гЛконтур является аффинной комбинацией двух кривых Р0(и) и Р{(и), причем первая из них имеет вес (1 - if), а вторая - вес if. Если if близко к нулю, то форма а'-контура определяется в основном кривой Р0(и), а при if, близком к единице, большее влияние оказывает кривая Р,(ы).
Если ограничить диапазон изменения v от 0 до 1, то в поверхности будет фигурировать только отрезок прямой между соответствующими точками на кривых. С другой стороны, если v ничем не ограничено, то каждая прямая будет неограниченно продолжаться в обоих направлениях, и поверхность будет напоминать неограниченный криволинейный «лист». Линейчатый лоскут (ruled patch) формируется посредством ограничения обоих величин - и и v - некоторыми значениями, например от 0 до 1.