Пусть вектор п = (пх, пу, пг, 0 ) нормален к поверхности в точке Р и пусть вектор v - любой вектор, касательный к данной поверхности в точке Р. Тогда вектор п должен быть перпендикулярен к вектору v, и можно записать: п v = 0.
О Покажите, что это скалярное произведение можно записать как произведение матриц nrv = 0. (См. приложение Б.)
О Покажите, что скалярное произведение п v по-прежнему остается равным нулю при добавлении произведения матриц М~'М; иначе говоря, докажите, что nrM~'Mv = 0.
О Покажите, что выражение nrM_1Mv - 0 можно записать в форме: (М~гп) (Mv) = 0, откуда следует, что вектор М~тп перпендикулярен вектору Mv.
Теперь, поскольку касательный вектор v преобразуется в Mv, который является касательным к преобразованной поверхности, докажите, что вектор М~тп должен быть нормален к преобразованной поверхности, что и требуется доказать. О Нормаль к поверхности задается также в виде градиента неявной формы, поэтому нормаль к преобразованной поверхности в точке Р должна быть градиентом от F(M"'P). Докажите с помощью последовательных вычислений, что градиент последней функции равен М~т, умноженной на градиент от f( ).
6.5.3. Плоскость, касательная к преобразованной поверхности В процессе выяснения того, как преобразуются нормальные векторы, мы можем также выяснить, каким образом плоскость, касательная к поверхности, преобразуется в касательную плоскость к преобразованной поверхности. Пусть касательная плоскость к исходной поверхности в точке Р имеет параметрическое представление Р+ аи + bv, где а и Ь - два вектора, лежащих в плоскости.
О Докажите, что параметрическое представление преобразованной плоскости имеет вид МР + Май + + Mbv и что эта плоскость имеет нормаль п' « (Ma) x (Mb).
О Докажите со ссылкой на приложение Б, что имеет место тождество:
(Ma) x (Mb) - (detM) М-Г(а x b).
Это равенство связывает векторное произведение преобразованных векторов с векторным произведением самих этих векторов. О Докажите, что из этого тождества следует, что вектор п' параллелен вектору М~гп.