5.3. Трехмерные аффинные преобразования рот на угол 35° вокруг оси, заданной сферическими координатами 9 - 30° и ф - 45°. Покажите, что окончательный результат имеет вид:
' 0,877 -0,366 0,281 0'
_ 0,445 0,842 -0,306 0
-0,124 0,396 0,910 0
; 0 0 0 ij5.3.9. Ортогональные матрицы
Матрица называется ортогональной (orthogonal), если ее столбцы являются взаимно ортогональными векторами единичной длины. Докажите, что каждая из трех матриц поворота, заданных равенствами (5.27)-(5.29), ортогональна. Чему равен определитель ортогональной матрицы? Ортогональная матрица обладает замечательным свойством: ее обращение равносильно ее транспонированию (см. также приложение Б). Докажите, что это свойство матрицы следует из ортогональности ее столбцов. Найдите обратные матрицы к каждой из трех упомянутых матриц и докажите, что обращение (инверсия) поворота - это просто поворот в противоположном направлении.
5.3.10. Матрица является ортогональной Докажите, что сложная матрица поворота из равенства (5.33) является ортогональной.
5.3.11. Структура матрицы поворота Докажите, что у матрицы поворота М размером 3 на 3 все три строки попарно ортогональны, а третья является векторным произведением первых двух.
5.3.12. Ось поворота не проходит через начало отсчета?
Если ось вращения не проходит через начало отсчета, а вместо этого задана в виде 5 + иг, где 5 - некоторая точка, то необходимо вначале произвести перемещение в начало отсчета посредством -5, проделать нужный поворот и затем произвести обратное перемещение посредством 5. Напишите суммарную матрицу, описывающую эти действия.
5.3.4. Краткое изложение свойств трехмерных аффинных преобразований Свойства, отмеченные в разделе 5.2.7 для аффинных преобразований, конечно, применимы и к трехмерным аффинным преобразованиям. В терминах произвольного трехмерного аффинного преобразования Г(.) с матрицей М эти свойства имеют вид: О При аффинных преобразованиях аффинные комбинации точек сохраняются. Если а + b = 1, то аР+ bQ- полноправная трехмерная точка, и Т(аР + bQ) = аТ(Р) + bT(Q).