Пример 5.3.5. Найдите ось и угол Сделайте вид, что вам неизвестны характерные ось и угол для матрицы поворота из примера (5.3.4) и вычислите их. След равен 2,414, откуда соэ((3) - 0,707, Р - 45°, следовательно, эт(Р) = 0,707. Далее вычислим все компоненты вектора поворота из уравнений (5.34); все они получатся равными 0,577, поэтому и -(1,1,1)/^ , как и следовало ожидать.
Практические упражнения
5.3.6. Какое преобразование коммутативно?
Рассмотрим два аффинных преобразования Г, и Ту Является ли преобразование Г,Г2 идентичным Г2Г,, если а) оба они являются чистыми перемещениями; б) оба они являются масштабированиями; в) оба они являются сдвигами; г) одно из них является поворотом, а другое перемещением; д) одно из них является поворотом, а другое масштабированием; е) одно из них является масштабированием, а другое сдвигом.
5.3.7. Частные случаи поворота вокруг произвольной оси и Всегда полезно выяснить, как сложный результат в частных случаях сводится к известным. Проверьте, что произойдет с уравнением (5.33), если ось и является: а) осью х, г, б) осью у, у, в) осью г, к.
5.3.8. Классический подход к повороту вокруг оси В этом упражнении мы предлагаем способ нахождения поворотов, в результате которых ось и совместится с осью г. (В приложении Б приведен обзор сферических координат.) Пусть направление и задано в сферических координатах углами ф и 0, как показано на рис. 5.28. Совместим и с осью х посредством г/-вращения на угол 0; в результате и перейдет в плоскость ху и создаст новую ось и'. (Нарисуйте эту ось.) Найдите /?Д0) из уравнения (5.28). Завершим процесс совмещения осей посредством 2-вращения на угол -ф. Поскольку теперь вектор ц совпадает с осью х, выполним желаемое дг-вращение на угол Р, используя уравнение (5.27). После этого следует аннулировать повороты совмещения, чтобы восстановить исходное направление оси. Для выполнения этого используйте матрицы, обратные к Я,(0) и Яг(-ф), которые равны соответственно /?^(-0) и Яг(ф). Сначала аннулируйте 2-вращение и затем г/-вращение. В заключение перемножьте эти пять элементарных поворотов, чтобы получить уравнение (5.32). Выполните все эти вычисления и примените результаты к определению матрицы М, которая выполняет пово-