Нарисуйте стандартный сарай после того, как каждая его вершина подверглась дг-вращению на 45°. Повторите рисунок для случаев г/-вращения и z-вращения.
5.3.3. Выполнение поворота Найдите образ Q точки Р = (1, 2, -1) после г/-вращения на 45°. Нарисуйте точки Р и Q в трехмерной системе координат и покажите правильность полученного результата.
5.3.4. Проверка поворотов осей на 90° В данном упражнении содержится полезный прием для запоминания структуры матриц поворота. Примените каждую из трех матриц поворота на 90° к каждому из стандартных единичных координатных векторов i, j и к. В каждом случае исследуйте эффект преобразования единичного вектора.
5.3.5. Действительно ли у-вращение является особенным?
Кажется, что знак минус в уравнении (5.28) стоит не на месте: перед нижней буквой s, а не перед верхней. Докажите, что в действительности уравнения (5.27)-(5.29) непротиворечивы, а все дело в порядке следования осей. Рассмотрим три осих,у иzв циклическом порядке: дг-ьу-»z-fx-»z/,… и т. д. Если мы исследуем вращение вокруг какой-нибудь «текущей» (current) оси (х, у или z), то мы можем указать «предыдущую» (previous) и «последующую» (next) оси. Если, например, текущей является ось X, то предыдущая - z, а следующая - у. Докажите, что при такой системе названий во всех трех видах поворотов используются одни и те же уравнения: Qcurr- Purr, Qnext = cPncxt- sPpnv и QDrev = sPnm + cPom. Напишите эти уравнения для каждой из трех возможных «текущих» осей.
«*prev5.3.2. Компонование трехмерных аффинных преобразований Нет ничего неожиданного в том, что из трехмерных аффинных преобразований можно составлять композиции и в результате получать новое трехмерное аффинное преобразование. Ход рассуждений аналогичен тому, что привел нас к уравнению (5.17) для двумерного случая. Матрица, представляющая суммарное преобразование, является произведением отдельных матриц М, и М2, выполняющих два преобразования, причем умножение идет в обратном порядке: М2 является первым сомножителем, то есть умножается на М, слева: