Большинство интересующих нас преобразований непрерывны, поэтому образ прямой линии есть также связная линия некоторой формы, однако не обязательно прямая. При аффинных преобразованиях тем не менее прямые линии сохраняются. Как мы увидим в дальнейшем, образ прямой линии после аффинного преобразования Г также есть прямая линия. Большая часть этой главы будет посвящена аффинным преобразованиям, однако для создания специальных эффектов могут быть использованы и другие виды преобразований. Например, на рис. 5.9 показано сложное преобразование фигуры, которое не может быть достигнуто ее аффинным преобразованием. Примененное здесь преобразование может быть использовано для создания визуального эффекта или для того, чтобы подчеркнуть особенности объекта.
Чтобы сохранить прямые линии, при выполнении преобразований мы используем явный координатный фрейм. Напомним из главы 4, что координатный фрейм состоит из специальной точки тЗ, называемой началом координат, и нескольких взаимно перпендикулярных векторов (в двумерном случае их обозначают I и ^ а в трехмерном - \,}У1 к), которые служат осями этого координатного фрейма.
Рассмотрим вначале двумерный случай, поскольку он более нагляден. Какой бы координатный фрейм мы ни использовали, точки Р и (2 имеют следующие представления:
Преобразования объектов
соответственно. Напомним: это означает, что точка Р находится в положении Р = Рі + Ру) + в, аналогичное выражение можно написать и для точки 0_. Рх и Ру обычно называют координатами точки Р. Преобразование воздействует на это представление точки Р и на выходе дает представление точки (2 в соответствии с некоторой функцией Г(); то есть:
(5.1)
или, более кратко: Сама функция Г() может быть сложной, например:
кодирование от алкоголизма цены клиники.
(5.2)
и такие преобразования могут привести к интересным геометрическим эффектам, однако мы ограничимся более простыми семействами функций: линейными относительно Рх и Р. Именно это свойство характеризует аффинные преобразования.
5.2.2. Аффинные преобразования Короче, что такое алгебра? Это вон те треугольные штуки?