Введем параметрические представления для каждого из исследуемых отрезков. Пусть АВ - отрезок от точки А до точки В. Тогда
AB(t) - А + Ьг,
(4.49)Векторные инструменты для графики
где для удобства мы ввели вектор Ь - В - А. При изменении £ от 0 до 1 пробегаются все точки данного конечного отрезка прямой. Если же разрешить £ изменяться от -ее до °°, то будет пройдена вся порождающая прямая линия.
Аналогичным образом дадим параметрическое представление отрезка СБ (с применением нового параметра и): СО(и) = С + Аи, (4.50)
где 6 - Б - С. Мы используем для двух прямых различные параметры: для одной - а для другой - и, чтобы можно было независимо описывать различные точки этих прямых (если бы использовался один и тот же параметр, то точки этих двух прямых оказались бы связанными между собой).
В случае пересечения порождающих прямых должны существовать определенные значения Ь и и, при которых правые части уравнений (4.49) и (4.50) будут одинаковыми: А + Ьг= С+Аи.
Введем для удобства вектор с - С - А и запишем это условие в терминах трех известных векторов и двух (неизвестных) параметров: Ьг-с + «1и. (4.51)
Подобно уравнению (4.22), уравнение (4.51) в двумерном случае содержит в себе два уравнения с двумя неизвестными. Решим его тем же способом: скалярно умножим обе его части на б1, чтобы исключить члены с 6, тогда получим с!1 Ы - с!1 с. Теперь рассмотрим два основных случая, когда о11 Ьг равно или не равно нулю.
Случай 1. Произведение б1 Ь отлично от нуля В этом случае мы можем решить последнее уравнение относительно г: а1-с
Аналогичным способом, используя одно из дополнительных свойств перп-скалярного произведения (какое именно?), скалярно умножим обе части уравнения (4.51) на Ь1, после чего получим: Ь1- с
и=- (4.53)
Теперь мы знаем, что две порождающие прямые пересекаются, и мы знаем где. Однако это не означает, что пересекаются заданные отрезки этих прямых. Если £ расположено вне интервала [0,1], то отрезок АВ не «достанет» другой отрезок; то же можно сказать в случае, если и расположено вне интервала [0,1]. Если же г и и расположены между 0 и 1, то данные отрезки прямой должны пересечься в некоторой точке /, положение которой легко найти подстановкой значения г в уравнение (4.49):