пхх + пуу + пг2 = В, (4.47)
где Б = п (В - 0). Например, имея уравнение плоскости вида 5х - 2у + 8г = 2, можно сразу определить, что нормалью к этой плоскости является вектор (5, -2,8) или любое скалярное, кратное ему. (А как определить точку, лежащую на плоскости?)
Пример 4.5.7. Нахождение точечной нормальной формы
Пусть плоскость Р проходит через точку (1,2,3) с нормальным вектором (2,-1, -2). Точечная нормальная форма для этой плоскости имеет вид: (2, -1, -2) ((х, у, г) - (1,2,3)) = 0. Уравнение для данной плоскости можно записать в форме: 2х - у - 2г = -6.
Пример 4.5.8. Нахождение параметрической формы по уравнению плоскости Найти параметрическую форму для плоскости 2х - у + Зг - 8. Решение По виду уравнения легко выяснить координаты нормали к плоскости: (2,-1,3). Существует много вариантов параметризации, нам нужно найти только один из них. В качестве С возьмем любую точку, удовлетворяющую уравнению плоскости, например, С - (4,0,0). Найдем два (неколлинеарных) вектора, скалярное произведение которых с нормалью (2, -1,3) равняется 0; после некоторого поиска находим подходящие векторы: а - (1,5,1), Ь*=(0, 3, 1). Таким образом, параметрическая форма для данной плоскости имеет вид: Р(з, £) - (4,0,0) + (1,5,1)5 + (0,3,1)г, Пример 4.5.9. Нахождение двух неколлинеарных векторов Как, имея нормаль п к плоскости, проще всего найти два неколлинеарных вектора а и Ь, оба из которых перпендикулярны п? В предыдущем упражнении мы подобрали два подходящих вектора; здесь же мы используем то обстоятельство, что векторное произведение любого вектора на п нормально к п. Поэтому выберем простейший вектор, например (0,0,1), и построим а как векторное произведение этого вектора на п: а = (0,0,1)хп = (-яу)ях,0).
(Действительно ли этот вектор нормален к п?) Мы можем использовать эту же идею для формирования вектора Ь, нормального к векторам п и а: Ь - п х а - (.-п/1, -пупг, пх2 + пу2).
(Проверьте, что действительно Ь ± а и Ь ± п.) Тогда вектор Ь несомненно неколлинеарен вектору а. Применим этот метод к плоскости (3,2,5) (Л* - (2,7,0)) = 0. Зададим векторы а = (0,0,1) х п = (-2,3,0) и Ь = (-15, -10,13). Тогда параметрическая форма плоскости будет иметь вид: