Отметим, что когда мы ранее определяли стандартные единичные векторы \, j и к как (1,0,0), (0,1,0) и (0,0,1) соответственно, мы фактически определили их представления в основной системе координат.
' Для двумерной системы суть изложенных идей в основном та же.
2 Вообще говоря, эти векторы не обязаны быть взаимно перпендикулярными, а только «линейно независимыми» (то есть ни один из них не должен быть линейной комбинацией двух других). Однако координатные фреймы, с которыми мы будем работать, будут всегда иметь взаимно перпендикулярные векторы осей.
4.5. Отображение ключевых геометрических объектов Так как, согласно уравнению (4.32), 1 = 1а + ОЬ + Ос, вектор 1 фактически равен самому а! Это вопрос наименования: говорим мы о векторе или о его представлении в координатном фрейме. Обычно мы не различаем эти два понятия.
Отметим, что нельзя определенно утверждать, где находится Ф, или точно указать направления а, Ь и с. Для того чтобы сделать это, необходимо иметь другой координатный фрейм, чтобы представить в нем данный фрейм. В терминах своего собственного координатного фрейма ф имеет представление (0,0,0), представление вектора а равно (1,0,0) и т. д.
Однородное представление точки и вектора Полезно представлять точки и векторы с помощью одного и того же набора основных базовых объектов (а, Ь, с, Ф). Из равенств (4.32) и (4.33) следует, что вектору V = г>,а + ь2Ъ + ь3с требуется четыре коэффициента (»,, ь2, ь3, 0), в то время как точке Р = рга + р2Ь + р3с требуется четыре таких коэффициента: (р1Ур2,р3,1). Четвертый компонент показывает, входит ли в состав объекта начало отсчета Ф. Формально мы можем записать любые V и Р, используя умножение матриц (умножение вектора-строки на вектор-столбец, как указано в приложении Б):
и Здесь матрица-строка определяет природу координатного фрейма, а вектор-столбец является представлением конкретного интересующего нас объекта. Таким образом, векторы и точки имеют различное представление: векторы имеют четвертым компонентом 0, а точки 1. Уравнения (4.34) и (4.35) являются примерами однородного представления (homogeneous representation) векторов и точек1. Использование однородных координат является одним из признаков компьютерной графики, так как это помогает, с одной стороны, сохранять различие между точками и векторами, а с другой стороны, предоставляет компактную запись при работе с аффинными преобразованиями. Весьма удобно в компьютерных программах представлять точки и векторы в однородных координатах в форме упорядоченных четверок (тетрад) путем добавления 1 или 0 в качестве четвертого компонента2. Это особенно полезно, когда мы должны проделать преобразование из одного координатного фрейма, где имеются представления точек и векторов, в другой.