О 1у.] - к,) хк -1, и кх \ - у
Представив векторы в форме а - ах\ + ау$ + а)&. и Ь - Ьх\ + Ьк] + Ь2к, примените сделанные допущения для вывода представления а х Ь в форме (4.28) или (4.29).
4.4.3. ПерпендикулярностьахЬиа Докажите, что векторное произведение векторов а и Ь действительно перпендикулярно вектору а.
4.4.4. Векторные произведения Найдите вектор Ь = (Ь^ Ъ , Ьг), удовлетворяющий соотношению векторного произведения а х Ь - с, где а-(2,1,3)ис - (2, -4,0^. Является ли этот вектор единственным?
4.4.5. Неассоциативность векторного произведения Докажите, что векторное произведение не является ассоциативным. Иными словами, докажите, что а х (Ь х с) не обязательно равно (а х Ь) х с.
4.4.6. Еще один полезный факт
Докажите с помощью непосредственного вычисления в компонентах, что длина векторного произведения имеет вид: ахЬ = д/|а|2|Ь|2-(а-Ь)2.
4.4.1. Геометрическая интерпретация векторного произведения По определению векторное произведение двух векторов а х Ь также является вектором, однако как оно выглядит геометрически и почему оно вообще представляет интерес? Рисунок 4.15 дает нам ответ на это. Векторное произведение а х Ь имеет следующие полезные свойства (их проверка вынесена в упражнения по данному разделу).
1. а х Ь перпендикулярно (ортогонально) обоим векторам а и Ь.
2. Длина вектора а х Ь равна площади параллелограмма, построенного на векторах а и Ь. Эта площадь равна:
(4.30)
4.4. Векторное произведение двух векторов где 0 - угол между векторами а и Ь, измеренный от а к b или от b к а, в зависимости от того, какой из этих углов меньше 180°. Особый случай, а х b = 0, имеет место тогда и только тогда, когда а и b имеют одинаковое или противоположное направление или нулевую длину. Чему равен модуль векторного произведения, если векторы а и b - взаимно перпендикулярны? 3. При работе в правосторонней системе координат смысл а х b можно лучше уяснить при помощи «правила правой руки». Поверните пальцы правой руки, например, от а к Ь, тогда направление а х b будет указано направлением вашего большого пальца. (Если вы работаете в левосторонней системе координат, то используйте левую руку.) Отметим, что равенство i х j - к подтверждает зто свойство.