О Если мы опустим перпендикуляр из точки С на прямую L, то в каком месте он пересечет L?
О Как разложить вектор с = С- А на составляющие вдоль прямой L и в направлении, перпендикулярном к L?
На рис. 4.13, б введен ряд дополнительных величин: вектор Vі - это вектор v, повернутый на 90° против часовой стрелки. Опустив перпендикуляр из точки С на прямую L, мы говорим, что вектор с разложен на составляющую Kv вдоль v и составляющую Mvl перпендикулярно к v, где К и M - некоторые константы, подлежащие определению. Тогда имеем: с - Kv +Mv\ (4.22)
Зная с и v, можно определить К и М. После того как они найдены, мы говорим, что ортогональная проекция (orthogonal projection) вектора с на вектор v есть Kv и что расстояние от точки С до прямой равно |Mvx|.
4.3. Скалярное произведение На рис. 4.13, в показана ситуация, в которой могут возникнуть все три вопроса. Мы хотим проанализировать, как на груз, показанный на рисунке, действует вектор силы тяжести Є, стремящийся столкнуть его вниз по наклонной плоскости. Чтобы проделать это, нам нужно разложить силу тяжести Є на силу Р, действующую вдоль наклонной плоскости, и силу В, действующую перпендикулярно этой плоскости. Это означает, что мы ищем Р и В такие, чтобы Є = Б + В. (Правильно ли изображены на рисунке ВиР?)
Уравнение (4.22) на самом деле содержит два уравнения: правая и левая его части должны удовлетворяться как для х-, так и для ^-составляющих. Имеется две неизвестных величины: К и М. Таким образом, мы имеем два уравнения с двумя неизвестными и можно применить правило Крамера. Однако кто помнит правило Крамера? Мы используем один прием, который легко запомнить и который сразу приводит к результату; он эквивалентен правилу Крамера, однако проще в употреблении.
Наш способ решения двух уравнений с двумя неизвестными состоит в том, чтобы исключить одну из переменных. Для этого построим скалярное произведение, умножив обе части уравнения (4.22) на вектор V: с V - Ку V + Му1 V. (4.23) К счастью, слагаемое Vі V обращается в нуль (почему?), и тогда получаем: